Fórmula integral de Cauchy
Teorema de acotamiento
Si "f" es continua sobre una curva suave C y si $|f(z)|\leq M$
para todo "z" en C, entonces $|\int_{C} f(z) \mathrm{d} z|\leq ML$, donde L es la longitud de C.
Este teorema se la conoce como desigualdad ML donde "M" es una cota que se
le asigna a la función "f" y "L" es la longitud de la curva cerrada C sobre
la que se integra. Si bien no se hará una demostración de este teorema, se
la menciona debido a que es una herramienta útil en la deducción de la
fórmula integral de Cauchy.
Teorema de la deformación y la integral de Cauchy
Observe el último ejemplo desarrollado en
integración compleja. Si el integrando se reescribe haciendo una traslación de la
circunferencia unitaria se tiene que:
\[\oint_{C}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=2\pi i,\:C:|z-z_{0}|=1\]
el resultado sigue siendo igual de válido ya que solo se hizo una
traslación de la curva cerrada C y del integrando. No obstante, en base a
este resultado es posible estudiar la integral en el polo haciendo un
"hueco" alrededor de esa singularidad (ver figura)
|
| A es la circunferencia unitaria de centro en el polo $z_{0}$ y B es una circunferencia de radio más pequeño "r" que encierra al polo |
Considere un dominio simplemente conexo que rodea a "A" y el hueco formado
en "B". Este nuevo dominio se lo conoce como
conjunto doblemente conexo el cual puede partirse en dos
regiones simplemente conexas como se muestra en la siguiente figura
|
| Formación de dos regiones simplemente conexas donde las curvas C1 y C2 tienen sentido antihorario, generando a su vez las curvas L1 y L2 que tienen sentidos opuestos |
Dado que se formaron dos regiones simplemente conexas, el
teorema de Cauchy se cumple para las curvas cerradas C1 y C2 de modo
que:
\[\oint_{C1}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=\oint_{C2}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=0\]
Así entonces, sumando las integrales sobre todas las curvas que conforma la
partición de "A" y "B" se tiene que:
\[\small
\oint_{C1}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z+\oint_{C2}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z+\int_{L1}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z+\int_{L2}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=\oint_{AB}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z\]
Observe que con esta suma de integrales L1 y L2 son integrados en una
dirección como parte de C1 y en la dirección opuesta como parte de C2,
lo que hace que se cancelen. Así, se obtiene la integral sobre toda "A", orientada en sentido
antihorario, junto con la integral sobre toda "B", orientada en sentido
horario.
\[\small\oint_{AB}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=\oint_{C1}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z+\oint_{C2}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=\oint_{A}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z-\oint_{B}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z\]
Dado que la integral sobre C1 y C2 es 0, es evidente que su suma igualmente
es 0. Consecuentemente, la integral sobre AB debe ser 0, lo que permite
asegurar que "f" es analítica en AB, de modo que:
\[\oint_{A}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z-\oint_{B}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=0\]
\[\oint_{A}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=\oint_{B}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z\]
Esta es la tesis del conocido teorema de la deformación de Cauchy,
el cual se puede aplicar para cualquier integrando de la forma $g(z)=\frac{f(z)}{z-z_{0}}$. Asismismo "A" y "B" puede ser cualquier tipo de curva cerrada simple,
pues si analiza la figura anterior, no importa la forma que tenga C1 y C2,
siempre se llegará a la misma suma de integrales. Ahora, continuando con el
ejemplo, resulta interesante que este teorema asegure que:
\[\oint_{A}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=\oint_{B}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=2\pi
i\]
Es decir que, en cualquier curva simple cerrada que contenga el polo del
integrando como
punto interior o frontera, la integral es siempre $2\pi i$. Veamos lo que sucede generalizando este hecho con la función "g(z)"
mencionada anteriormente como sigue:
|
| $\gamma$ es cualquier curva cerrada y C es una curva más simple que forma un hueco alrededor del polo $z_{0}$ |
Por teorema de la deformación se tiene que
\[\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=\oint_{C}\frac{f(z)+f(z_{0})-f(z_{0})}{z-z_{0}}\mathrm{d}z\]
\[I=f(z_{0})\oint_{C}\frac{1}{z-z_{0}}\mathrm{d}z+\oint_{C}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\mathrm{d}z\]
\[I=f(z_{0})2\pi
i+\oint_{C}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\mathrm{d}z\]
Puesto que "f" es continua en $z_{0}$, es posible aplicar la definción de
limite de una función compleja, eligiendo una cota $\varepsilon>0$
arbitrariamente pequeño para el cual exista un $\delta>0$ tal que $|f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon$
siempre que $|z-z_{0}|<\delta$. Si hacemos que el radio del círculo C sea $r=\frac{\delta}{2}<\delta$
se tiene la cota $M=\frac{\varepsilon}{\delta /2}$
y la longitud $L=2\pi \frac{\delta}{2}$
de modo que aplicando el teorema de acotamiento se tiene
\[\left|\oint_{C}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\right|\leq\frac{\varepsilon}{\delta/2}2\pi\left(\frac{\delta}{2}\right)=2\pi
\varepsilon\]
En otras palabras, el valor absoluto de la integral puede hacerse
arbitrariamente pequeño tomando el radio de la circunferencia C
suficientemente pequeño. Esto no afecta al resultado de la integral debido
al teorema de la deformación, de modo que si $\varepsilon$
es infinitamente pequeño no cabe duda que la integral debe ser 0 para
asegurar que se cumpla la desiguladad ML. Así entonces:
\[\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z=2\pi if(z_{0})\rightarrow
f(z_{0})=\frac{1}{2\pi
i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z\]
Esta es la primera fórmula integral de Cauchy, donde debe mencionarse que
"f" debe ser analítica en todos los puntos dentro y sobre el contorno
cerrado $\gamma$ y $z_{0}$
es cualquier punto interior o frontera a $\gamma$
Ejemplo: Evaluar la integral
\[\oint_{C}\frac{z^{2}}{z^{2}+1}\mathrm{d}z,\:C:|z-i|=\sqrt{2}\]
Graficar la curva C y los polos del integrando puede ayudar a determinar
cual polo es un punto interior de C.
La curva cerrada C encierra al polo $z_{0}=i$
de modo que la integral se calcula sobre ese punto
\[\oint_{C}\frac{z^{2}}{(z+i)(z-i)}\mathrm{d}z=\oint_{C}\frac{\frac{z^{2}}{z+i}}{z-i}\mathrm{d}z\]
Note que se ha reescrito el integrando con el objetivo de que se pueda usar
la integral de Cauchy en el polo $z_{0}=i$, de modo que:
\[\oint_{C}\frac{z^{2}}{z^{2}+1}\mathrm{d}z=2\pi if(i)=2\pi
i\left(\frac{z^{2}}{z+i}\right)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{z=i}=-\pi
\]
Teorema de la deformación generalizada
Observe el conjunto mostrado en la siguiente figura
|
| Debido a la presencia de más de dos huecos, el conjunto también es conocido como multiplemente conexo |
La suma de integrales deducida anteriormente en un conjunto doblemente
conexo crece por cada hueco presente en la curva $\gamma$, es decir:
\[\oint_{C1}f(z)\mathrm{d}z+\oint_{C2}f(z)\mathrm{d}z+...+\int_{Cn}f(z)\mathrm{d}z=\oint_{\gamma
C_{n}}f(z)\mathrm{d}z\]
Dado que cada integral cumple con el teorema de Cauchy y que la suma
representa la integral sobre toda $\gamma$
en sentido antihorario y sobre cada $C_{j}$
en sentido horario se tiene que
\[\oint_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z-\sum_{j=1}^{n}\oint_{C_{j}}f(z)\mathrm{d}z=0\]
\[\oint_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z=\sum_{j=1}^{n}\oint_{C_{j}}f(z)\mathrm{d}z\]
llegando a la conclusión de este teorema
Ejemplo: Calcular la integral compleja
\[\oint_{C}\frac{e^{3z}}{z^{2}-z-2}\mathrm{d}z,\:C:|z|=3\]
Graficando la curva C y los polos del integrando se tiene
La curva C encierra ambos polos, por lo que aplicando el teorema de
deformación generalizada y la primera fórmula integral de Cauchy se
obtiene
\[\oint_{C}\frac{e^{3z}}{(z-2)(z+1)}\mathrm{d}z=\oint_{C_{0}}\frac{\frac{e^{3z}}{z-2}}{z+1}\mathrm{d}z+\oint_{C_{1}}\frac{\frac{e^{3z}}{z+1}}{z-2}\mathrm{d}z\]
\[I=2\pi
i\left(\frac{e^{3z}}{z-2}\right)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{z=-1}+2\pi
i\left(\frac{e^{3z}}{z+1}\right)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{z=2}\]
\[I=\frac{2\pi i}{3}(e^{6}-e^{-3})\]
Observe nuevamente el último ejemplo desarrollado en integración compleja y analice el caso cuando "n" es distinto de 1. Ahora, considere la
definición de derivada compleja
en un punto
\[f'(z_{0})=\displaystyle\lim_{\Delta z\to z_{0}}\frac{f(z_{0}+\Delta
z)-f(z_{0})}{\Delta z}\]
y utilizando la primera fórmula integral de Cauchy sobre "f"
note que:
\[\frac{f(z+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}=\frac{1}{\Delta
z}\left[\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-(z_{0}+\Delta
z)}\mathrm{d}z -\frac{1}{2\pi
i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z\right]\]
\[..=\frac{1}{2\pi i}\left[\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0}-\Delta
z)(z-z_{0})}\mathrm{d}z\right]\]
Aplicando artificios matemáticos para reescribir la expresión a
conveniencia se tiene
\[\frac{f(z+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}=\frac{1}{2\pi
i}\left[\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0}-\Delta
z)(z-z_{0})}\left(\frac{z-z_{0}}{z-z_{0}}\right)\mathrm{d}z\right]\]
\[...=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)(z-z_{0}+\Delta z-\Delta
z)}{(z-z_{0}-\Delta z)(z-z_{0})^{2}}\mathrm{d}z\]
\[...=\frac{1}{2\pi
i}\oint_{C}f(z)\left[\frac{1}{(z-z_{0})^{2}}+\frac{\Delta
z}{(z-z_{0}-\Delta z)(z-z_{0})^{2}}\right]\mathrm{d}z\]
\[...=\frac{1}{2\pi
i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{2}}\mathrm{d}z+\frac{\Delta z}{2\pi
i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0}-\Delta
z)(z-z_{0})^{2}}\mathrm{d}z\]
de modo que aplicando el límite a ambos miembros de la igualdad se obtiene
la relación entre la derivada compleja y la integral de Cauchy como
sigue:
\[\small \displaystyle\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta
z)-f(z_{0})}{\Delta z}=\displaystyle\lim_{\Delta z\to 0}\frac{1}{2\pi
i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{2}}\mathrm{d}z+\displaystyle\lim_{\Delta
z\to 0}\frac{\Delta z}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0}-\Delta
z)(z-z_{0})^{2}}\mathrm{d}z\]
\[f'(z_{0})=\frac{1}{2\pi
i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{2}}\mathrm{d}z+0\]
Siendo esta expresión la fórmula integral de Cauchy para la primera
derivada de "f" en el polo $z_{0}$. No obstante, calculando la derivada n-ésima con respecto al polo
se tiene
\[f''(z_{0})=\frac{2}{2\pi
i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{3}}\mathrm{d}z\]
\[f'''(z_{0})=\frac{6}{2\pi
i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{4}}\mathrm{d}z\]
\[f^{n}(z_{0})=\frac{n!}{2\pi
i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\mathrm{d}z\]
Siendo esta expresión la segunda fórmula integral de Cauchy, la cual se la
conoce comúnmente como fórmula integral de Cauchy generalizada.
Ejemplo: Evaluar la integral de contorno
\[\oint_{C}\frac{z+2}{z^{2}(z-1-i)}\mathrm{d}z,\:|z|=1\]
Graficando la curva C y los polos del integrando se tiene
La curva C encierra a un polo de potencia 2, de modo que reescribiendo el
integrando se tiene:
\[\oint_{C}\frac{z+2}{z^{2}(z-1-i)}\mathrm{d}z=\oint_{C}\frac{\frac{z+2}{z-1-i}}{z^{2}}\mathrm{d}z\]
De esta forma, aplicando la fórmula integral de Cauchy generalizada, se
evalua la integral compleja como sigue
\[I=\oint_{C}\frac{\frac{z+2}{z-1-i}}{z^{1+1}}\mathrm{d}z=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{z+2}{z-1-i}\right)\left.\begin{matrix}\\\end{matrix}\right|_{z=0}2\pi
i}{1!}\]
\[I=\frac{(z-1-i)-(z+2)}{(z-1-i)^{2}}\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{z=0}2\pi
i=-(3+i)\pi\]
Ejemplo práctico: Evaluar la integral compleja
\[\oint_{C}\frac{\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{(z^{2}+z)(z-2)^{3}}\mathrm{d}z,\:C:\text{Cuadrado de
vertices}\pm 2i\,\text{y}\,(4\pm 2i)\]
Graficando la curva C y los polos del integrando se tiene
Observando el gráfico se puede notar un polo como punto frontera y otro
polo como punto interior de C. Por tanto, para evaluar la integral, se
procede a aplicar el teorema de la deformación generalizada y la segunda
fórmula integral de Cauchy como sigue:
\[\oint_{C}\frac{\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{z(z+1)(z-2)^{3}}\mathrm{d}z=\oint_{C_{1}}\frac{\frac{\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{(z+1)(z-2)^{3}}}{z}\mathrm{d}z+\oint_{C_{2}}\frac{\frac{\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{z(z+1)}}{(z-2)^{3}}\mathrm{d}z\]
\[I=2\pi i\left[\frac{\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{(z+1)(z-2)^{3}}\right]\left.\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}\right|_{z=0}+\left(\frac{2\pi
i}{2!}\right)\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}z^{2}}\left[\frac{\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{z(z+1)}\right]\left.\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}\right|_{z=2}\]
\[I=\pi
i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[\frac{\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi
z}{2}\right)(z^{2}+z)-\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)(2z+1)}{(z^{2}+z)^{2}}\right]\left.\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}\right|_{z=2}\]
Note que la derivada se complicó, por lo que para simplificar la expresión
se puede reescribir el cociente de la siguiente manera
\[\frac{\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi
z}{2}\right)(z^{2}+z)-\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)(2z+1)}{(z^{2}+z)^{2}}=\frac{\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{z^{2}+z}-\frac{\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)(2z+1)}{(z^{2}+z)^{2}}\]
de modo que
\[\small
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[\frac{\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{z^{2}+z}\right]\left.\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}\right|_{z=2}=\frac{-\frac{\pi^{2}}{4}\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)(z^{2}+z)-\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi
z}{2}\right)(2z+1)}{(z^{2}+z)^{2}}\left.\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}\right|_{z=2}=\frac{5\pi}{72}\]
y por método logarítmico de derivación se tiene que:
\[w=\frac{\sin\left(\frac{\pi z}{2}\right)(2z+1)}{(z^{2}+z)^{2}}\]
\[\small \log w=\log\left[\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)\right]+\log(2z+1)-2\log(z^{2}+z)\://\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\]
\[\frac{w'}{w}=\frac{\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}+\frac{2}{2z+1}-\frac{2(2z+1)}{z^{2}+z}\]
\[w'=\left[\frac{\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}+\frac{2}{2z+1}-\frac{2(2z+1)}{z^{2}+z}\right]\frac{\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)(2z+1)}{(z^{2}+z)^{2}}\]
\[w'=\left[\frac{\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi
z}{2}\right)(2z+1)}{(z^{2}+z)^{2}}+\frac{2\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)}{(z^{2}+z)^{2}}-\frac{2\sin\left(\frac{\pi
z}{2}\right)(2z+1)^{2}}{(z^{2}+z)^{3}}\right]\]
Por último, evaluando la segunda derivada en el polo como sigue:
\[\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{z=2}=-\frac{5\pi}{72}\]
se obtiene el resultado de la integral de contorno propuesta
\[I=\pi
i\left(\frac{5\pi}{72}+\frac{5\pi}{72}\right)=\frac{5\pi^{2}}{36}i\]
Ejercicios:
Evaluar las siguientes integrales de contorno mediante la fórmula integral de Cauchy
1) $\oint_{C}\frac{z^{4}}{z-2i}\mathrm{d} z,\, C:\textrm{Cualquier curva
que encierra a } z_{0}=2i$
2) $\oint_{C}\frac{z^{2}-5z+i}{z-1+2i}\mathrm{d} z,\, C: \, |z|=3$
3) $\oint_{C}\frac{ie^{z}}{(z-2+i)^{2}}\mathrm{d} z,\, C:\, |z-1|=4$
4) $\oint_{C}\frac{z\sin(3z)}{(z+4)^{3}}\mathrm{d}z,\,C:|z-2i|=9$
5) $\oint_{C}-\frac{(2+i)\sin (z^{4})}{(z+4)^{2}}\mathrm{d} z,\,
C:\textrm{Cualquier curva que encierra a } z_{0}=-4$
6) $\oint_{C} \left[\frac{e^{2iz}}{z^{4}}-\frac{z^{4}}{(z-i)^{3}}\right]
\mathrm{d} z,\, C: |z|=6$
7) $\oint_{C}\frac{\cosh(\sinh z)}{z+3}\mathrm{d} z,\, C:\textrm{Cualquier
curva que encierra a } z_{0}=-3$
8) $\oint_{C} \frac{\cos z-\sin z}{(z+i)^{4}} \mathrm{d} z,\,
C:|z|=7$
9) $\oint_{C} \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}(z^{2}+9)},\, C:1\leq |z|\leq
2$
10) $\oint_{C} \frac{\mathrm{d} z}{z^{2}-3z},\, C: |z|=1$
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