Integración en $\mathbb{C}$
La integral compleja tiene una interpretación geométrica diferente a
la del área bajo una curva o volumen bajo una superficie, como es
conocida en integrales de variable real. La idea central comienza con
la noción de integrar una función en el intervalo [a,b] siendo $a=z_{0}=x_{0}+iy_{0}=(x_{0},y_{0})$ y $b=z_{n}=x_{n}+iy_{n}=(x_{n},y_{n})$. Pero, para recorrer este intervalo existen infinitas trayectorias
posibles, por lo que consideremos la curva mostrada en la
figura.
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| Partición de la curva suave C en "n" sub-arcos producida por una partición en "n" subintervalos de $[z_{0},z_{n}]$ |
Basándose en la definición de la suma de Riemann de los
números reales se puede decir que
\[S=\sum_{k=1}^{n}f(z_{k}^{*})\Delta z_{k}\]
En los números complejos, esta suma no tiene una interpretación
geométrica como en los números reales. Pues, su resultado es un número
complejo que evidentemente no representa ninguna cantidad geométrica
conocida. Sin embargo, coincide con la definición de integral de los
números reales, por lo que se puede inferir que la suma aún representa
una integral pero en los números complejos. Ahora, si esta se calcula
con los "n" subintervalos infinitamente pequeños que cubren toda la curva C
mostrada en la figura anterior se tiene
\[\int_{C}f(z)\mathrm{d}z=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(z_{k}^{*})\Delta
z\]
Nótese que esta expresión obedece a la definición de
integrales de linea en los números reales. No obstante, si "f" es
reescrita en su forma cartesiana se tiene
\[\int_{C}(u+iv)(\mathrm{d}x+i\mathrm{d}y)=\int_{C}u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+i\int_{C}v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y\]
Nótese que las partes real e imaginaria son un par de integrales de línea
con respecto a "x" e "y". De manera que, para evaluar una integral compleja
se pueden utilizar las mismas técnicas y propiedades de las integrales de
línea de los números reales. Así entonces, si "C" se expresa en su forma
paramétrica definda en $t\in [a,b]$, se puede decir que
\[\int_{C}f(z)\mathrm{d}z=\int_{a}^{b}f[z(t)]z'(t)\mathrm{d}t\]
Por otro lado, si la curva en la que se integra es cerrada, la integral
compleja también se la denomina integral de contorno y si es en dirección positiva (sentido antihorario), se la puede escribir como:
\[ I=\oint_{C}f(z)\mathrm{d}z\]
Ejemplo 1: Evalúe la integral dada a lo largo del contorno
indicado
\[\int_{C}(x^{2}+iy^{3})\mathrm{d}z,\:\textrm{donde C es el segmento de
recta de}\:z=1\:\textrm{a}\:z=i\]
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| Considerando que la parte real de "z" se representa en el eje de las abscias y la parte imaginaria en el eje de las ordenadas, el segmento de recta C está dada por $y=-x+1,\, 1\geq x\geq 0$ |
Expresando las ecuaciones paramétricas de la recta y su derivada se
tiene
\[\left\{\begin{matrix}x=t\\y=-t+1\end{matrix}\right.\:t\in[1,0]\]
\[\left\{\begin{matrix}\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\\\mathrm{d}y=-\mathrm{d}t\end{matrix}\right.\]
Asimismo, reonociendo la parte real e imaginaria de "f" se tiene
\[\left\{\begin{matrix}u=x^{2}\\v=y^{3}\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}u(t)=t^{2}\\v(t)=(1-t)^{3}\end{matrix}\right.\]
de modo que la integral compleja se evalúa mediante su forma cartesiana
como sigue:
\[I=\int_{1}^{0}t^{2}\mathrm{d}t+(1-t)^{3}\mathrm{d}t+i\int_{1}^{0}(1-t)^{3}\mathrm{d}t-t^{2}\mathrm{d}t\]
\[-\int_{0}^{1}[(1-t)^{3}+t^{2}]\mathrm{d}t+i\int_{0}^{1}[t^{2}-(1-t)^{3}]\mathrm{d}t=-\frac{7}{12}+i\frac{1}{12}\]
\[I=-\frac{1}{12}(7-i)\]
Recuerde que en las integrales de línea, la dirección en la que se integra
influye en su resultado.
Ejemplo 2: Evaluar la integral dada al rededor de la curva $C:|z|=1$
\[\oint _{C}\mathbb{R}e\left\{z\right\}\mathrm{d}z\]
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| La curva C es la circunferencia unitaria del plano complejo |
Parametrizar una circunferencia en los complejos es mucho más sencillo
utilizando su notación exponencial. Por tanto, si $C:z=e^{ti}=\cos t+i\sin t,\, \mathrm{d} z=ie^{ti}\mathrm{d} t$ y $\mathbb{R}e\left\{z\right\}=x$ la integral compleja se evalúa como sigue
\[\int_{0}^{2\pi}\cos t(ie^{ti})\mathrm{d}t=i\int_{0}^{2\pi}(\cos t+i\sin
t)\cos t \mathrm{d}t\]
\[ i\int_{0}^{2\pi}(\cos^{2}t+i\sin t\cos
t)\mathrm{d}t=i\left(\frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}{2}+i\frac{\sin^{2}(t)}{2}\right)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{0}^{2\pi}\]
\[I=\pi i\]
Teorema de la integral de Cauchy
Supongamos que una función compleja "f" es analítica en un dominio
simplemente conexo D y que su derivada es continua en D. Entonces para
todo contorno cerrado simple C en D:
\[\oint _{C}f(z)\mathrm{d}z=0\]
Demostración:
El teorema de Cauchy es una consecuencia inmediata del
teorema de Green en el plano y de las
ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por tanto, si se define una región R en el dominio D para una campo
vectorial en el conjunto de los números reales, recuerde que
\[\oint_{C}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)=\iint_{R}\left ( \frac{\partial
Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )\mathrm{d}A\]
Luego, sea la integral de contorno en su notación cartesiana
\[\oint_{C} f(z) \mathrm{d}
z=\oint_{C}u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+i\oint_{C}v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y\]
es posible aplicar el teorema de Green debido a que la parte real e
imaginaria de la integral de contorno son funciones reales cuyas derivadas
parciales son continuas en D
\[\oint _{C}f(z)\mathrm{d}z=\iint_{R}\left(-\frac{\partial v}{\partial
x}-\frac{\partial u}{\partial
y}\right)\mathrm{d}A+i\iint_{R}\left(\frac{\partial u}{\partial
x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)\mathrm{d}A\]
Ahora, si "f" es analítica en D, entonces se cumplen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann y por lo tanto
\[\oint _{C}f(z)\mathrm{d}z=\iint_{R}\left(-\frac{\partial v}{\partial
x}+\frac{\partial v}{\partial
x}\right)\mathrm{d}A+i\iint_{R}\left(\frac{\partial v}{\partial
y}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)\mathrm{d}A=0\]
Siendo esta la tesis del teorema de Cauchy, la cual permite deducir la
independencia de la trayectoria de una integral compleja como
sigue:
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| D es un conjunto simplemente conexo y las curvas C1 y C2 forman un contorno cerrado C |
Dado que es posible aplicar las mismas propiedades de las integrales de
línea, se puede decir que
\[\oint _{C}f(z)\mathrm{d}z=\int _{C_{1}}f(z)\mathrm{d}z+\int
_{C_{2}}f(z)\mathrm{d}z\]
y si la función compleja "f" es analítica en "D" entonces por teorema de
Cauchy se tiene que
\[\int _{C_{1}}f(z)\mathrm{d}z+\int _{C_{2}}f(z)\mathrm{d}z=0\]
\[\int _{C_{1}}f(z)\mathrm{d}z=-\int _{C_{2}}f(z)\mathrm{d}z\]
No obstante, observe que C2 va desde z2 hasta z1, por lo que cambiando el
sentido de su orientación se tiene la integral $-\int_{-C_{2}}f(z)\mathrm{d} z$
y por tanto se concluye que
\[\int _{C_{1}}f(z)\mathrm{d}z=\int _{-C_{2}}f(z)\mathrm{d}z\]
Así entonces, con esta ecuación se dice que si "f" es analítica en D,
entonces la integral compleja es independiente de la trayectoria contenida
en D. En otras palabras, la integral compleja solo depende de los puntos
inicial y final y por ende es posible aplicar el
teorema fundamental del cálculo de las integrales de línea conocida
de los números reales:
\[\int
_{C}f(z)\mathrm{d}z=\int_{a}^{b}f[z(t)]z'(t)\mathrm{d}t=\int_{a}^{b}F'[z(t)]z'(t)\mathrm{d}t\]
\[\int
_{C}f(z)\mathrm{d}z=\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F[z(t)]\mathrm{d}t=F[z(t)]\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{a}^{b}\]
\[I=F[z(b)]-F[z(a)]=F(z_{2})-F(z_{1})\]
Donde "F(z)" es la antiderivada de "f(z)".
En resumen:
- Si "f" es analítica en un conjunto simplemente conexo D y C es una curva abierta simple con punto inicial z1 y punto final z2 contenida en D entonces $\int_{C} f(z)\mathrm{d} z=\int_{z_{1}}^{z_{2}}f(z)\mathrm{d}z=F(z_{2})-F(z_{1})$
- Si "f" es analítica en un conjunto simplemente conexo D y C es una curva cerrada entonces $\oint_{C}f(z)\mathrm{d} z=0$
En otro caso, para evaluar la integral compleja es necesario parametrizar
la curva "C" con las tecnicas utilizadas en los ejemplos 1 y 2.
Ejemplo 3: Muestre la independencia de la trayectoria
para la integral $\int_{C}(4z-1)\mathrm{d} z$ en las siguientes curvas definidas en [-i,i].
- Segmento de recta vertical que unen los extremos del intervalo dado
- Sobre las curvas mostradas en la figura
- Evalúe utilizando la antiderivada
Primeramente, la recta vertical que une -i con i está dada por la
ecuación "x=0", de modo que parametrizando se tiene que
\[\left\{\begin{matrix}x=0\\y=t\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}\mathrm{d}x=0\\\mathrm{d}y=\mathrm{d}t\end{matrix}\right.\]
Asimismo, expresando la integral en su notación cartesiana y aplicando la
parametrización se obtiene
\[\left\{\begin{matrix}u=4x-1\\v=4y\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}u=-1\\v=4t\end{matrix}\right.\]
de modo que la integral compleja se evalúa como sigue
\[I=-\int_{-1}^{1}4t\mathrm{d}t-i\int_{-1}^{1}\mathrm{d}t=-2t^{2}\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{-1}^{1}-it\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{-1}^{1}\]
\[I=-2i\]
En segundo lugar, las curvas mostradas en la figura corresponden a un
cuarto de la circunferencia $C_{1}:z=e^{ti}$
con un segmento de la recta $C_{2}:y=-x+1$. C1 ya se encuentra parametrizada por lo que para C2 se tiene
\[\left\{\begin{matrix}x=t\\y=-t+1\end{matrix}\right.\rightarrow\left\{\begin{matrix}\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\\\mathrm{d}y=-\mathrm{d}t\end{matrix}\right.\]
Otra forma, incluso algo más fácil para aplicar la parametrización en la
notación cartesiana de la integral compleja, es expresar $z=x+iy$
asi como $\mathrm{d}z=\mathrm{d} x+i\mathrm{d} y$
para luego reemplazar las ecuaciones paramétricas de la curva C y sus
derivadas en dicha integral.
\[I=\int_{C_{1}}f(z)\mathrm{d}z+\int_{C_{2}}f(z)\mathrm{d}z\]
\[I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}(4e^{ti}-1)(ie^{ti}\mathrm{d}t)+\left[\int_{1}^{0}[4[t+i(1-t)]-1](\mathrm{d}t-i\mathrm{d}t)\right]\]
\[I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}(4ie^{2ti}-ie^{ti})\mathrm{d}
t+\left[3\int_{1}^{0}\mathrm{d}t+i\int_{1}^{0}(5-8t)\mathrm{d}t\right]\]
\[I=(2e^{2ti}-e^{ti})\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{0}+\left(3t\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{1}^{0}+i(5t-4t)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{1}^{0}\right)\]
\[I=(2e^{0}-e^{0}-2e^{-\pi i}+e^{-\frac{\pi}{2}i})+(-3-i)\]
\[I=-2i\]
Por último, evaluando mediante la antiderivada de "f" se tiene
\[\int_{-i}^{i}(4z-1)\mathrm{d}z=(2z^{2}-z)\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{-i}^{i}=-2i\]
El resultado de la integral es la misma para los casos propuestos,
demostrando así su independencia de la trayectoria.
Ejemplo 4: Evaluar la integral de contorno siguiente en la
circunferencia $C:|z-3i|=1$
\[\oint_{C}\frac{2z+1}{z^{2}+z}\mathrm{d}z\]
La función del integrando no es analítica en los puntos z=0 y z=-1. No
obstante, observe el gráfico de la curva cerrada y de las
singularidades de "f".
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| Los puntos singulares se encuentran afuera de la circunferencia C |
Si definimos una región simplemente conexa D que no tome encuenta los
puntos singulares y que contenga a C, se puede decir que "f" es analítica
en D. Pues, C se ubica en una región del plano donde "f" no presenta
"huecos". De este modo, por teorema de la integral de Cauchy se concluye
que
\[\oint_{C}\frac{2z+1}{z(z+1)}\mathrm{d}z=0\]
Ejemplo práctico: Calcular la integral
\[\oint_{C}\frac{1}{z}\mathrm{d}z,\:C:|z|=1\]
Observe el gráfico de la curva C y de la singularidad de "f"
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| "f" tiene un punto singular en el interior de C |
Dado que "f" no es analítica en un dominio simplemente conexo D que
contiene a C, se procede a parametrizar como sigue
\[z=e^{ti}\rightarrow\mathrm{d}z=ie^{ti}\mathrm{d}t\]
de modo que la integral de contorno es
\[I=\int_{0}^{2\pi}\frac{ie^{ti}\mathrm{d}t}{e^{ti}}=2\pi i\]
No obstante si $f(z)=\frac{1}{z^{n}}$
siendo "n" cualquier natural mayor a 1 se obtiene lo siguiente
\[I=\int_{0}^{2\pi}\frac{ie^{ti}\mathrm{d}t}{e^{nti}}=i\int_{0}^{2\pi}e^{ti(1-n)}\mathrm{d}t\]
\[I=\frac{1}{1-n}e^{ti(1-n)}\left.\begin{matrix}\\\\\end{matrix}\right|_{0}^{2\pi}=\frac{1}{1-n}(e^{2\pi
i(1-n)}-1)\]
Si intenta evaluar con cualquier "n" mayor a 1 el resultado siempre será
cero, lo que le da a la integral un comportamiento bastante interesante
cuando "n=1". Pues el resultado que se obtuvo en ese caso sirve de base
para la deducción de la fórmula integral de Cauchy.
Ejercicios:
Evaluar las siguientes integrales complejas
1) $\int_{C}\sin (2z)\mathrm{d} z,\, C:\textrm{Segmento de recta de} -i
\textrm{ a } 4i$
2) $\int_{C}i\bar{z}\mathrm{d} z,\, C:\textrm{Segmento de recta de } 0
\textrm{ a} -4+3i$
3) $\int_{C}|z|^{2}\mathrm{d} z,\, C:\textrm{Segmento de recta de } -i
\textrm{ a } 1$
4) $\oint_{C} ze^{-z^{2}} \mathrm{d} z,\, C:|z+4|=3$
5) $\int_{C}\frac{1}{z}\mathrm{d} z,\, C:\textrm{Arco de la circunferencia
} |z|=4 \textrm{ de} -i \textrm{ hasta } i \textrm{ en sentido
antihorario}$
6) $\oint_{C} (z-|z|) \mathrm{d} z,\, C:|z|=4$
7) $\oint_{C}(z^{2}+\mathbb{I}m\left\{ z\right\} )\mathrm{d} z,\,
C:\textrm{Cuadrado de vértices } 0,-2i,2-2i,2$
8) $\oint_{C} \frac{z}{z^{2}-\pi^{2}} \mathrm{d} z,\, C:|z|=3$
9) $\oint_{C} \left( \frac{e^{z}}{z+3}-3\bar{z}\right ) \mathrm{d} z,\,
C:|z|=1$
10) $\int_{C} e^{z}\mathrm{d} z,\, C:\textrm{de } z=0 \textrm{ a } z=2+2i
\textrm{ sobre el contorno mostrado en la figura}$
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