Limite de funciones de una variable I

Definición de limite

Introduciendo una idea intuitiva del concepto de limite, analicemos que sucede a medida que los valores de x se acercan a 2 para la función $f(x)=-x^{2}$ utilizando una tabla de valores:

Note que la idea es jamás llegar a x=2, sino analizar que valor de f(x) se tiene a medida que x se acerca a 2. Se puede formar un patrón de acercamiento con los pasos, en este caso es la mitad de la distancia que quede entre el valor de x anterior al deseado partiendo de uno cercano. Por ejemplo, para el acercamiento por izquierda se partió de x=1.8 y la distancia que tiene hacia 2 es 0.2, entonces el paso para el siguiente valor de x será 0.1 y así este proceso se puede hacer tantas veces como sea posible y nunca llegar al valor de 2. Esto es análogo para el acercamiento por derecha. Se puede observar que acercándose a 2 tanto por izquierda como por derecha, f(x) tiende a un valor cercano a -4.

Ahora, hablando de la curva de cualquier función, se puede identificar los siguientes parámetros:

$x_{0}$, es el valor donde se desea encontrar el limite L. La distancia entre $x_{0}$ y un valor x cualquiera cercano ya sea por la derecha o izquierda se representa por $\delta$ y $\varepsilon$ es el error obtenido entre L y un f(x) que resulta de evaluar dicho valor x. Cabe mencionar que $\varepsilon$ es simétrico, es decir que es el mismo valor en ambos lados de L. Por otro lado, en algunas ocasiones, $\delta$ no necesariamente es simétrico, es decir que puede ser de diferente valor en ambos lados de $x_{0}$. Por lo que para asegurar que el error sea menor al de una referencia dada, se escoge el mínimo valor de $\delta$.

Algebraicamente se puede deducir que:

\[0< \left | f(x)-L \right |< \varepsilon\]

Observe en el gráfico que la diferencia entre f(x) y L se asocia a la distancia $\delta$ la cual análogamente se tiene:

\[0< \left | x-x_0\right |< \delta\]

Note que el error debe ser siempre positivo y de valores tan pequeños como se desee concluyendo que:

\[\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L\]

Si para todo $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que $ \left | x-x_{0} \right |< \delta$ de manera que $\left | f(x)-L \right |< \varepsilon$.

Esta es la definición de limite que permite demostrar su existencia, encontrando una expresión de la forma $\delta (\varepsilon )$ cuyo valor numérico es siempre positivo de manera que para cada valor de "x" se obtenga un f(x) tan cercano como sea posible a L utilizando un patrón de medida de referencia o error.

Ejemplo: demostrar el siguiente límite:

\[\lim_{x\rightarrow 3}x^{2}-4x+8=5\]

Por la definición se tiene que el limite se cumple si para todo $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que $ \left | x-3 \right |< \delta$ de manera que $\left | (x^{2}-4x+8)-5 \right |< \varepsilon$

Operando la ultima expresión se tiene:

\[\left | x^{2}-4x+3 \right |< \varepsilon\]

\[\left | (x-1)(x-3) \right |< \varepsilon\]

Note que se factorizó con el objetivo de obtener x-3 que contiene el valor absoluto de la primera expresión de la definición. Luego, $\delta$ puede ser tan pequeña como se desee, por simplicidad se utilizará el valor de 1 obteniendo:

\[\left | x-3 \right |<1\]

\[-1<x-3<1\]

Si sumamos 2 a toda la inecuación se encuentra la expresión faltante de la factorización realizada:

\[1<x-1<3\]

Se puede suponer que si 1 es el mínimo valor en la nueva desigualdad, -3 también lo es ya que es mucho menor que 1, de manera que se tiene:

\[-3<x-1<3\]

\[\left | x-1 \right |<3\]

Note que se tiene dos expresiones, una parte de la definición y la otra de una acotación para completar la desigualdad factorizada en el primer paso:

\[\left | x-3 \right |< \delta\]

\[\left | x-1 \right |<3\]

Se debe considerar que las desigualdades deben tener el mismo signo para realizar cualquier artificio algebraico. En este caso es posible multiplicar miembro a miembro, y así ya es posible encontrar la función deseada por la igualación de términos.

\[\left | x-1 \right |\left | x-3 \right |<3\delta\]

\[\left | (x-1)(x-3) \right |< \varepsilon\]

\[3\delta =\varepsilon\]

\[\delta =\frac{\varepsilon }{3}\]

Note que se tienen $\delta=1$ y $\delta=\frac{\varepsilon}{3}$, y al ser de diferente valor, se comprueba así que $\delta$ no es simétrico.

En la mayoría de los casos es posible asegurar que $\left |f(x)-L \right |< \varepsilon$, si se escoge el menor valor de $\delta$:

\[\delta \min \left \{ 1,\frac{\varepsilon }{3} \right \}\]

Así entonces queda demostrado el límite del ejemplo ya que se pudo encontrar $\delta$ en función de $\varepsilon$. Asimismo se puede comprobar calculando un valor de f(x) de manera que el error sea menor o igual a una referencia. Por ejemplo, si tomamos un error de 0.001 se tiene.

\[\delta \min \left \{ 1,0.000\bar{3} \right \}\]

Utilizando el mínimo valor como el paso tanto por izquierda como por derecha, se tiene que:

\[x=3+0.000\bar{3}=3.000\bar{3}\]

\[f(3.000\bar{3})=5.000666\bar{7}\]

\[x=3-0.000\bar{3}=2.999\bar{6}\]

\[f(2.999\bar{6})=4.999333\bar{4}\]

El punto evaluado es un número muy cercano al límite tanto por izquierda como por derecha y si se intenta hallar su diferencia con L, esta es menor a 0.001, comprobando así la demostración.

Ejemplo practico:

De acuerdo con el gráfico, ¿es posible asegurar que $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=1$?

En este caso se debe deducir la expresión algebraica de la función, por lo tanto usando traslaciones se tiene:

\[f(x)=\left\{\begin{matrix} x &0\leq x< 1 \\ 1-(x-1)^{2} & 1< x\leq 2 \end{matrix}\right.\]

Note que no se puede asegurar nada en x=1, por ende no podemos definir la función en dicho punto hasta comprobar el límite.

Para las dos funciones, por la definición de límite se tiene que:

\[\left | x-1 \right |< \delta\]

Luego, para $\lim_{x\rightarrow 1}x=1$

\[\left | x-1 \right |< \varepsilon\]

Note que no es necesario usar un valor auxiliar para $\delta $ ya que se tiene la relación entre los parámetros:

\[\delta_{1} =\varepsilon\]

Para $\lim_{x\rightarrow 1}1-(x-1)^{2}=1$

\[\left | (1-(x-1)^{2})-1 \right |< \varepsilon\]

\[\left | (x-1)(x-1)\right |< \varepsilon\]

Usando un valor diferente de 1 como $\delta =\frac{1}{3}$, se tiene que:

\[\left | x-1\right |< \frac{1}{3}\]

Multiplicando los miembros de las inecuaciones.

\[\left | x-1\right |\left | x-1\right |< \frac{1}{3}\delta\]

\[\varepsilon = \frac{\delta}{3}\]

Note que si se hubiese usado el valor de 1 se tendría la misma relación obtenida en el limite anterior. No obstante, recuerde que se puede usar un valor tan pequeño como se desee.

\[\delta_{2} \min \left \{ \frac{1}{3},3\varepsilon \right \}\]

Usando el error de 0.001 de referencia:

\[\delta _{1}=0.001,\delta _{2}=0.003\]

\[f_{1}(0.999)=0.999\]

\[f_{2}(1.003)=0.999991\]

Note que los valores obtenidos se aproximan a 1 con un error menor o igual a 0.001, por lo que podemos asegurar el valor del límite. Cabe mencionar que en los casos en los que no es necesario usar un valor auxiliar para $\delta$, este es simétrico de manera que la diferencia entre f y L es igual al máximo permisible.

Limite de una función vectorial

Sea una función $r(t)=\left \langle f(t),g(t),h(t) \right \rangle$ cuyas ecuaciones paramétricas se dan por:

\[x=f(t)\]

\[y=g(t)\]

\[z=h(t)\]

Si aplicamos un limite sobre cada curva paramétrica se tiene:

\[\lim_{t\rightarrow a}x(t)=L_{1}\]

\[\lim_{t\rightarrow a}y(t)=L_{2}\]

\[\lim_{t\rightarrow a}z(t)=L_{3}\]

Note que se tiene la misma situación donde se aplicó la introducción a la definición de limite. La distancia $\delta$ se aplica sobre el parámetro t y $\varepsilon$ es el error sobre cada curva paramétrica. Sin embargo, para que el límite tenga sentido sobre la función vectorial este debe existir en todas las curvas paramétricas. Entonces:

\[\lim_{t\rightarrow a}r(t)=\left \langle \lim_{t\rightarrow a}f(t),\lim_{t\rightarrow a}g(t),\lim_{t\rightarrow a}h(t) \right \rangle\]

Si el límite existe para f, g y h cuando t tiende a "a"

Ejemplo: Demostrar que a medida que t se acerca a 1 para la función $r(t)=(t-1)^{2}\mathbf{i}+5t\mathbf{j}+(t^{2}-1)\mathbf{k}$ esta se aproxima al vector $\vec{v}=5\mathbf{j}$, utilice un error de 0.01 para comprobar su respuesta

Repartiendo el límite como se mencionó

\[\lim_{t\rightarrow 1}\left [ (t-1)^{2}\mathbf{i}+5t\mathbf{j}+(t^{2}-1)\mathbf{k} \right ]=\lim_{t\rightarrow 1}(t-1)^{2}\mathbf{i}+\lim_{t\rightarrow 1}5t\mathbf{j}+\lim_{t\rightarrow 1}(t^{2}-1)\mathbf{k}\]

para todos los casos se tiene que:

\[\left | t-1 \right |< \delta\]

Para $\lim_{t\rightarrow 1}(t-1)^{2}=0$

\[\left | (t-1)^{2}-0 \right |< \varepsilon\]

\[\left | (t-1)(t-1) \right |< \varepsilon\]

Si $\delta =1$:

\[\left | t-1 \right |<1\]

\[\left |t-1 \right |\left | t-1 \right |<\delta\]

\[\varepsilon =\delta\]

\[\delta_{1} \min \left \{ 1,\varepsilon \right \}\]

Para $\lim_{t\rightarrow 1}5t=5$

\[\left | 5t-5 \right |< \varepsilon\]

\[\left | 5(t-1) \right |< \varepsilon\]

Simplemente multiplicando por 5 se tiene:

\[5\left | t-1 \right |< 5\delta\]

\[\varepsilon = 5\delta\]

Como no se utilizó un valor para encontrar la relación entre los parámetros se tiene solamente:

\[\delta_{2} =\frac{\varepsilon }{5}\]

Para $\lim_{t\rightarrow 1} t^{2}-1=0$

\[\left | (t^{2}-1)-0 \right |< \varepsilon\]

\[\left | (t-1)(t+1)\right |< \varepsilon\]

Si $\delta =1$:

\[\left | t-1 \right |< 1\]

\[-3< t+1 < 3\]

\[\left | t+1 \right |< 3\]

Multiplicando los miembros correspondientes:

\[\left | t-1 \right |\left | t+1 \right |< 3\delta\]

\[\varepsilon = 3\delta\]

\[\delta_{3} \min \left \{ 1,\frac{\varepsilon }{3} \right \}\]

Luego, al tratarse de una función vectorial, se debe asegurar que $\left \| r(t)-L\right \|<\varepsilon$, escogiendo el $\delta$ mínimo entre todas las calculadas en cada función componente.

\[\delta _{1}\min =\left \{ 1,\varepsilon \right \}, \delta _{2}=\frac{\varepsilon }{5}, \delta _{3}\min =\left \{ 1,\frac{\varepsilon}{3}\right \}\]

Así entonces, queda demostrado que

\[\lim_{t\rightarrow 1}\left [ (t-1)^{2}\mathbf{i}+5t\mathbf{j}+(t^{2}-1)\mathbf{k} \right ]=5\mathbf{j}\]

Realizando la comprobación dado el error.

\[\delta \min \left \{ \delta _{1} =0.01, \delta _{2}=0.002, \delta _{3}=0.00\bar{3} \right \}\]

\[r(1.002)=4\times 10^{-6}\textbf{i}+5.01\mathbf{j}+0.004004\mathbf{k}\]

\[r(0.998)=4\times 10^{-6}\textbf{i}+4.99\mathbf{j}-0.003996\mathbf{k}\]

Note que el vector obtenido se aproxima al del límite con el error máximo permisible en ambos lados de "t".

De esta forma es posible introducir la definición formal de límite para funciones vectoriales como sigue:

El vector "L" se da para un valor $t=a$ y el vector "r(t)", para cualquier $t$, de manera que la distancia entre los parámetros es $|t-a|$. No obstante mientras "r(t)" se aproxima a "L" resulta sencillo observar que el módulo del vector diferencia es el error $\varepsilon$. Por tanto, se puede decir que:

\[\lim_{t\rightarrow a }r(t)=L, \forall \varepsilon >0 \exists \delta > 0/\left | t-a \right |< \delta \rightarrow \left \| r(t)-L \right \|< \varepsilon\]

Utilizando esta definición ya no es necesario demostrar el limite de cada función componente.

Ejercicios:

a) Sea la función $\small{f(x)=\frac{x}{1-\sqrt{1-x}}}$, simplifique a la mínima expresión formando una nueva función $\small{g(x)}$ ¿Se puede decir que f y g son iguales para todo x dentro del dominio de f?, argumente su respuesta. Luego, en base a su explicación, ¿Es posible asegurar que $\small{\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}g(x)}$?, utilice la gráfica de la curva para complementar la justificación de la respuesta

b) Demostrar usando un error de 0.001 que:

\[\small{\lim_{t\rightarrow 1}\left \langle t^{3}-1,\frac{t+3}{2},2t^{2} \right \rangle=\left \langle 0,2,2 \right \rangle}\]

Soluciones de los ejercicios