Transformación de funciones
-Traslación de una función:
Esta operación se da por el efecto que se tiene al sumar o restar una
constante positiva a una función en las formas:
1) $f(x)\pm c$ 2) $f(x\pm c)$
La primera forma
traslada a la función de forma vertical "c" unidades, si dicha
constante se suma, la traslación es hacia arriba, y si se resta, la
traslación es hacia abajo. Por ejemplo sea la función:
\[f(x)=\sin x\]
Realizaremos las transformaciones $f(x)+2$ y $f(x)-2$,
por lo que graficando en [0,2π] se tiene:
Note que solo basta conocer la estructura de la función original para
obtener de manera sencilla esta transformación.
La segunda forma
traslada a la función de forma horizontal "c" unidades, si dicha
constante se suma, la traslación es hacia la izquierda, y si se resta, la
traslación es hacia la derecha. Por ejemplo sea la función:
\[g(x)=\cos x\]
Realizaremos las transformaciones
$g\left ( x+\frac{\pi }{2} \right )$ y $g\left ( x-\frac{\pi }{2} \right
)$, por lo que graficando en [0,2π] se tiene:
\[\sin x=\cos \left ( x-\frac{\pi }{2} \right )\]
Y análogamente:
\[\sin \left ( x+\frac{\pi }{2} \right )=\cos x\]
Este tipo de traslaciones también se lo conoce como corrimiento.
- Alargamiento y compresión de funciones:
Esta operación se da por el efecto que se tiene al multiplicar una
constante positiva a la función donde se pueden presentar 4 casos.
Suponga que c>1:
- Si la transformación es de la forma $cf(x)$ se tiene un alargamiento vertical en un factor de "c"
- Si la transformación es de la forma $\frac{1}{c}f(x)$ se tiene una compresión vertical en un factor de "c"
- Si la transformación es de la forma $f(cx)$ se tiene una compresión horizontal en un factor de "c"
- Si la transformación es de la forma $f\left ( \frac{1}{c}x \right )$ se tiene un alargamiento horizontal en un factor de "c"
Note el cambio de la amplitud de la gráfica original. Este efecto de
alargamiento es mas visible en funciones trigonométricas que en el
resto.
Este tipo de transformaciones se utiliza comúnmente para ajustar los
valores del dominio a una escala deseada. Puesto que puede existir
casos en los que los valores de x en el intervalo no da suficiente
información de la curva.
Sea la función:
\[f(x)=\left\{\begin{matrix} \sin x, & 0\leq x\leq \pi \\ 0,
&x< 0\vee x > \pi \end{matrix}\right.\]
Expresar y graficar: 2f(x), f(2x), f(x+2), f(x)-2, -f(x) y f(-x).
Al tratarse de una función a trozos, en caso de presentar alguna
transformación sobre la variable independiente, los intervalos de
definición deben cambiar. En el resto se aplican las transformaciones de forma normal.
\[2f(x)=\left\{\begin{matrix} 2\sin x, & 0\leq x\leq \pi \\ 0
,&x< 0\vee x > \pi \end{matrix}\right.\]
\[f(2x)=\left\{\begin{matrix} \sin (2x), & 0\leq 2x\leq \pi \\ 0,
&2x< 0\vee 2x > \pi
\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} \sin (2x), & 0\leq x\leq
\frac{\pi }{2} \\ 0 &x< 0\vee x > \frac{\pi}{2}
\end{matrix}\right.\]
\[\small f(x+2)=\left\{\begin{matrix} \sin (x+2), & 0\leq x+2\leq
\pi \\ 0 ,&x+2< 0\vee x+2 > \pi
\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} \sin (x+2), & -2\leq
x\leq \pi-2 \\ 0, &x< -2\vee x > \pi-2 \end{matrix}\right.\]
\[f(x)-2=\left\{\begin{matrix} \sin (x)-2, & 0\leq x\leq \pi \\
-2, &x< 0\vee x> \pi \end{matrix}\right.\]
\[-f(x)=\left\{\begin{matrix} -\sin (x), & 0\leq x\leq \pi \\ 0,
&x< 0\vee x> \pi \end{matrix}\right.\]
\[f(-x)=\left\{\begin{matrix} \sin (-x), & 0\leq -x\leq \pi \\ 0,
&-x< 0\vee -x> \pi \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}
-\sin (x), & 0\geq x\geq -\pi \\ 0, &x> 0\vee x< -\pi
\end{matrix}\right.\]
- Combinación de funciones
Combinar dos funciones $f(x)$ y
$g(x)$ implica realizar las siguientes operaciones:
- Suma $f(x)+g(x)=(f+g)(x)$
- Resta $f(x)-g(x)=(f-g)(x)$
- Producto $f(x)g(x)=(fg)(x)$
- Cociente $\frac{f(x)}{g(x)}=\left ( \frac{f}{g} \right )(x)$
- Composición $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
En el caso del cociente, no existe la división entre cero por lo que
coincide con el dominio de una
función racional. Por otro lado,
el dominio de la composición se da para todo valor de x que
pertenezca al dominio de g(x) siempre y cuando su recorrido se defina
en el dominio de f.
Ejemplo:
Sean las funciones: $f(x)=\ln
(x-4)$ y $g(x)=\frac{1}{x-8}$.
Estudiar el dominio de sus combinaciones dadas por las operaciones de
suma, resta, producto y cociente.
Primero calcularemos el dominio de f y g obteniendo:
\[Df(x)=(4,\infty )\]
\[Dg(x)=\mathbb{R}-\left \{8\right \}\]
El dominio de las combinaciones dadas por la suma, resta, producto y
hasta el cociente es la intersección del dominio de f y g. Entonces, por
simple inspección se tiene que:
\[D(f+g)=D(f-g)=D(fg)=D(f/g)=\left \{ x\mid x> 4\wedge x\neq 8\right
\}\]
Usar un gráfico mediante una recta numérica resulta de ayuda para
observar la intersección de los dominios de una manera mas sencilla.
\[\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{\ln
(x-4)}{\frac{1}{x-8}}=(x-8)\ln (x-4)\]
Note que ya no se presenta un cociente, sino un producto de funciones
donde el dominio se da por la restricción de la función logarítmica:
\[Dh(x)=(4,\infty )\]
Sin embargo, no se puede decir que este es el dominio del cociente ya
que no considera el de g.
La gráfica de las operaciones a partir de las funciones iniciales se
construye operando los puntos coordenados de cada función. Se puede
utilizar una tabla de valores o bien si se conoce las gráficas se puede
operar los puntos visibles.
Cabe mencionar que si la operación es reducible, entonces de
preferencia se grafica de forma directa a la nueva función para
simplificar cálculos.
|
| Función resta |
|
| Función producto |
|
| La gráfica corresponde a la función cociente reducida, pero debido al dominio de f/g la curva no está definida en $x=8$ |
Composición de funciones
Se refiere básicamente a convertir la salida de una función en la entrada
de otra con el objetivo de representar múltiples procesos.
Se la lee como g compuesta por f ya que puede observar que la función
inicial es g. Para realizar esta operación, la expresión de g(x) se
convierte en la entrada de f donde la podemos interpretar como si fuera su
variable independiente. Por ejemplo, calcularemos las siguientes
composiciones:
$(f\circ g)(x)$ y $(g\circ f)(x)$
con las funciones $f(x)=e^{-x+1}$ y
$g(x)=x^{2}+1$.
La notación $(f\circ g)(x)$
es equivalente a la expresión
$f(g(x))$.
Así se puede notar que el valor "x" sobre f se va a evaluar con la
expresión de g obteniendo:
\[f(g(x))=e^{-(x^{2}+1)+1}=e^{-x^{2}}\]
De manera similar se procede para
$(g\circ f)(x)$:
\[g(f(x))=(e^{-x+1})^{2}+1=e^{2(1-x)}+1\]
Note que se realizó la composición sobre las mismas funciones en
diferente orden dando diferentes resultados. Por lo que podríamos decir
que esta operación no es conmutativa. Pueden existir casos donde no es
posible obtener la composición y sucede cuando el
rango
de la primera función no se encuentra definido en el dominio del
siguiente.
En ocasiones resulta práctico descomponer una expresión algebraica
complicada en funciones mas sencillas. Por ejemplo, sea la función:
\[F(x)=3\sin \left ( 2x+\frac{\pi }{2} \right )+1\]
Obtener f,g y h tal que:
$F(x)=(f\circ g\circ h)(x)$
Debemos analizar el orden de composición debido a que la operación no es
conmutativa. Por intuición podemos decir que h es:
\[h(x)=2x+\frac{\pi }{2}\]
Puesto que el argumento de la función seno es la expresión de dicha
función lineal. Concluyendo que:
\[g(x)=\sin x\]
\[f(x)=3x+1\]
Comprobando:
\[g(h(x))=\sin \left ( 2x+\frac{\pi }{2} \right )\]
\[f(g(h(x)))=3\sin \left ( 2x+\frac{\pi }{2} \right )+1\]
Ecuaciones y curvas paramétricas
Sea la ecuación de la parábola:
\[y^{2}+x=4\]
Si quisiéramos expresarlo en forma de f(x), se tiene:
\[f(x)=\sqrt{4-x} , D=(-\infty ,4]\]
Sin embargo, al graficarlo solo obtendríamos los valores positivos de la
raíz como se muestra a continuación.
Por ejemplo se puede realizar la siguiente parametrización:
\[y=t\]
\[x=4-t^{2}\]
Donde $x$
se obtiene luego de reemplazar
$y=t$
en la ecuación de la parábola, obteniendo así las denominadas ecuaciones paramétricas las cuales pueden formar una función vectorial r(t):
\[r(t)=\left \langle 4-t^{2},t \right
\rangle=(4-t^{2})\textbf{i}+t\textbf{j}\]
Note que la ecuación dada por la variable "x" pertenece al componente i y
la dada por la variable "y" al componente j. Graficando esta nueva función
se tiene:
Ejemplo 2: Hallar las ecuaciones parámetricas y
graficar la curva:
\[x^{2}+y^{2}=1\]
Si se despeja una de las variables se obtendrá una raíz, la cual solo
describirá una de las mitades de la curva. Sin embargo, se puede observar
que la ecuación corresponde a la de una circunferencia centrada en el origen
de radio 1. Entonces, mediante la definición de una
función trigonométrica es valido decir que:
\[x=\cos t\]
\[y=\sin t\]
Estas son las ecuaciones paramétricas resultantes y si se reemplazan en la
ecuación de la circunferencia se tiene la identidad trigonométrica
conocida:
\[\cos ^{2}t+\sin
^{2}t=1\]
Esta relación es útil para poder representar a cualquier circunferencia
o elipse.
Las ecuaciones paramétricas representan lo que se conoce como curvas paramétricas y se grafican como dos funciones diferentes donde el parámetro
"t" es la variable independiente.
La curva resultante se traza en el plano XY uniendo las dos gráficas como
muestra la siguiente imagen:
Note como se relacionan ambas curvas paramétricas, por ejemplo en t=0,
se tiene x=1, y=0 y este forma un punto en el plano XY, también observe
el sentido de giro de la curva final cada que aumenta "t". Resulta mas
sencillo usar el intervalo
$[0,2\pi ]$
para realizar el gráfico considerando que se podría usar cualquiera.
Así entonces se obtiene la gráfica de la circunferencia mediante curvas
paramétricas, esta forma de graficar es mucho mas compacta que usar una
tabla de valores de la ecuación vectorial. Asimismo es muy utilizada
para representar curvas aún mas complejas.
Ejercicios:
a) Represente gráficamente las siguientes funciones por medio de transformaciones, además grafique el proceso de transformación.
1)
$f(x)=\frac{1}{4}(x+2)^{2}-3$
2) $f(x)=\sqrt{2x}-1$
3) $f(x)=-\frac{3}{x+4}$
4)
$f(x)=\frac{1}{2}e^{x-4}+2$
b) Para las funciones dadas, realice las operaciones: f+g, f-g, fg y f/g, simplifique si es posible y calcule el dominio.
1) $f(x)=(2x+1)^{2}$,
$g(x)=8x^{3}+12x^{2}+6x+1$
2) $f(x)=\sec x$,
$g(x)=\tan x$. Utilice identidades trigonométricas y halle el dominio de las
combinaciones sin considerar el de f y g.
3) $f(x)=\ln (x^{2}-x)$,
$g(x)=\ln \left ( x+\frac{1}{x} \right )$
c) Descomponga las siguientes funciones.
1) $F(x)=\ln
(\sqrt{x-1})$
2)
$F(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}}$
3) $F(x)=\left | 3x^{2}-5
\right |$
4) $F(x)=\sin \left (
\frac{1}{2x^{2}+3x-4} \right )$
5)
$F(x)=-\frac{2e^{x}}{e^{2x}-1}$
6) $F(x)=\tan (\ln (\pi
x))$
d) Exprese las ecuaciones de las curvas dadas como una ecuación vectorial y graficar utilizando dicha ecuación
1)
$(x-2)^{2}+(y-5)^{2}=9$
2)
$4x^{2}+16y^{2}=36$
3) $x+8y=26$
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