Cálculo del limite en un punto
Calcular un límite no necesariamente significa evaluar una función en un punto. Puesto que, como se mencionó en su definición, se toman valores cercanos a
dicho punto pero no al mismo. Sin embargo si utiliza este concepto para determinar el valor de tendencia considerando algunas restricciones.
-Sustitución directa de un limite
En este caso es lógico realizar la operación:
\[\lim_{x\rightarrow a}=f(a)\]
Si "a" pertenece al dominio de f.
Gráficamente con una curva ejemplo lo podemos mostrar de la forma:
Note que la curva se define en x=1 por lo que es lógico pensar que el
límite en ese valor es el mismo que f(1). Por lo que para esta forma de
hallar el limite simplemente se evalúa la función siempre y cuando el valor
al que tiende se encuentre definido en su dominio.
Ejemplo: Calcular
\[\lim_{x\rightarrow 12}-2\sqrt{x-8}\]
Estudiando el dominio
se tiene:
\[Df:[8,\infty )\]
Entonces como x=12 pertenece al dominio de f, se lo puede evaluar obteniendo:
\[\lim_{x\rightarrow 12}-2\sqrt{x-8}=-2\sqrt{12-8}=-4\]
También, se puede validar el procedimiento si se lo demuestra mediante la
definición de limite:
El limite se cumple si para todo $\varepsilon > 0$, existe un $\delta
> 0$ tal que $\left |x-12 \right |<\delta$ de manera que $\left
|-2\sqrt{x-8}-(-4) \right|<\varepsilon$
\[2\left |\frac{x-12}{2+\sqrt{x-8}} \right|<\varepsilon\]
Si $\delta =1$ y operando
\[\left | \frac{1}{2+\sqrt{x-8}} \right |<
\frac{1}{2+\sqrt{3}}\]
Luego:
\[\left | x-12 \right |\left | \frac{1}{2+\sqrt{x-8}} \right |<
\frac{\delta }{2+\sqrt{3}}\]
Multiplicando por 2:
\[2\left | \frac{x-12}{2+\sqrt{x-8}} \right |< \frac{2\delta
}{2+\sqrt{3}}\]
Entonces:
\[\delta =\varepsilon\left ( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )\]
\[\delta\min =\left \{ 1, \varepsilon\left ( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right
) \right \}\]
Tomando una referencia de 0.01.
\[\delta\approx 0.01866\]
\[f(12+0.01866)\approx -4.0093\]
Así entonces se demuestra que la sustitución directa de un límite
funciona para su cálculo.
- Limites laterales
Si se comprueba la demostración de la curva mostrada en el subtitulo anterior realizando la siguiente evaluación, que indica el acercamiento por izquierda:
\[f(12-0.01866)\approx -3.9907\]
Se puede notar que se tiene un resultado que se aproxima al mismo valor de la evaluación realizada en el subtitulo anterior, el cual indica el acercamiento por derecha. Entonces, se puede evidenciar que haciendo el acercamiento por ambos lados, el resultado tiende al mismo valor cumpliendo el mismo error. En otras palabras, los limites laterales dan el mismo resultado, por lo que se puede definir la unicidad de un limite de la siguiente manera:
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ si y solo si $\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)$
Para la curva mostrada en el siguiente gráfico
Se puede notar que el limite cuando x tiende a 0 por izquierda es 1 y que cuando
tiende por derecha es 0. Entonces en esta situación los limites laterales
son distintos, algebraicamente podemos representarlo de la forma:
\[\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=1\]
\[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=0\]
Ejemplo: Analice los limites laterales cuando x tiende a 1 para la
función:
\[f(x)=\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{4x-3}, & 1\leq x\leq 3\\
\frac{1}{x+1}, & -\frac{1}{2}\leq x< 1 \end{matrix}\right.\]
Observando el intervalo de definición de cada función se tiene que:
\[\lim_{x\rightarrow
1^{-}}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\]
\[\lim_{x\rightarrow 1^{+}}2\sqrt{4x-3}=2\sqrt{4(1)-3}=2\]
Utilizando la grafica de la curva resulta mas sencillo identificar
sobre cual función aplicar el limite lateral respectivo.
Asimismo, es posible demostrar los limites laterales usando la
definición de limite.
- El limite lateral izquierdo se cumple si para todo $\varepsilon >
0$, existe un $\delta > 0$ tal que $1-x<\delta$ de manera que $\left | \frac{1}{x+1}-\frac{1}{2} \right
|< \varepsilon$
En este caso no es necesario usar un valor auxiliar, sino se debe obtener la segunda expresión de la definición sin el valor absoluto usando artificios algebraicos:
\[0< 1-x< \delta\]
\[\frac{1}{2}< \frac{1}{x+1}< \frac{1}{2-\delta }\]
\[0< \frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}< \frac{1}{2-\delta }-\frac{1}{2}\]
\[\varepsilon = \frac{1}{2-\delta }-\frac{1}{2}\]
\[\delta^{-} =\frac{4\varepsilon }{2\varepsilon +1}\]
- El limite lateral derecho se cumple si para todo $\varepsilon >
0$, existe un $\delta > 0$ tal que $x-1<\delta$ de manera que $\left | 2\sqrt{4x-3}-2 \right |<
\varepsilon$
Análogo al caso anterior:
\[0< x-1< \delta\]
\[0< \sqrt{4x-3}-1<\sqrt{4\delta +1}-1\]
\[0< 2\sqrt{4x-3}-2<2\sqrt{4\delta +1}-2\]
\[\varepsilon =2\sqrt{4\delta +1}-2\]
\[\delta ^{+}=\frac{(\varepsilon +2)^{2}-4}{16}\]
Tomando una referencia de 0.01
\[\delta ^{-}\approx 0.0392\]
\[\delta ^{+}\approx 0.0025\]
\[f(1-0.0392)\approx 0.5099\]
\[f(1+0.0025)\approx 2.00997\]
Así entonces se demuestran los limites laterales.
- Leyes de los limites
Para los limites $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ y $\lim_{x\rightarrow
a}g(x)=M$, si existen, se definen la siguientes
leyes:
1. Ley de la suma de limites
\[\lim_{x\rightarrow a}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\rightarrow
a}f(x)+\lim_{x\rightarrow a}g(x)\]
Demostración:
La idea para demostrar que la ley es cierta, es obtener una nueva
expresión para $\varepsilon$ partiendo de la definición dada por la
función combinada
calculando una cota utilizando las definiciones individuales,
comprobando así que ambos miembros se relacionan entre si de manera que
la definición de limite siempre se cumpla. Entonces utilizando la
definición de limite sobre el primer miembro se tiene que:
\[\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/\left | x-a \right
|< \delta \Rightarrow \left | (f(x)+g(x))-(L+M) \right |<
\varepsilon\]
La ultima expresión es la de interés y es posible ordenarla de la
forma:
\[\left | (f(x)-L)+(g(x)-M) \right |\]
Utilizando la desigualdad triangular para descomponer la suma de valor
absoluto, se tiene:
\[\left | (f(x)-L)+(g(x)-M) \right |\leq \left | f(x)-L \right |+\left
| g(x)-M \right |\]
Por definición para las funciones individuales se tiene que:
\[\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/\left | x-a \right
|< \delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right |< \varepsilon\]
\[\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/\left | x-a \right
|< \delta \Rightarrow \left | g(x)-M \right |< \varepsilon\]
Observando las ultimas expresiones de ambas definiciones se puede notar
que son acotaciones que pueden encajar en la descomposición realizada,
obteniendo:
\[\left | (f(x)-L)+(g(x)-M) \right |< \varepsilon
+\varepsilon\]
Por lo que ahora la definición de la función combinada cambia a:
\[\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/\left | x-a \right
|< \delta \Rightarrow \left | (f(x)+g(x))-(L+M) \right |<
2\varepsilon\]
Note que en todo momento se cumple la definición y se pudo encontrar
una nueva cota utilizando el segundo miembro de la igualdad, por lo que
queda demostrada la ley de la suma. De modo simlar se procede con la diferencia de límites
2. Ley del múltiplo constante
\[\lim_{x\rightarrow a}cf(x)=c\lim_{x\rightarrow a}f(x)\]
Donde "c" es una constate
Demostración:
En este caso resulta sencillo, ya que es posible partir del primer
miembro de la igualdad y obtener el segundo miembro
\[\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/\left | x-a \right
|< \delta \Rightarrow \left | cf(x)-cL \right |<
\varepsilon\]
Despejando la constante de la expresión de interés se tiene:
\[\left | c \right |\left | f(x)-L \right |< \varepsilon\]
\[\left | f(x)-L \right |< \frac{\varepsilon }{\left | c \right
|}\]
Note que se obtuvo la definición del limite "L" donde la cota se ve
alterada por la constante "c" y para quitarlo para obtener la
definición original se multiplica al limite por la misma "c" formando
así la definición:
\[c\lim_{x\rightarrow a}f(x)=cL, \forall \varepsilon > 0\exists
\delta > 0/\left | x-a \right |< \delta \Rightarrow \left |
f(x)-L \right |< \frac{\varepsilon }{\left | c \right |}\]
De manera que a partir de la definición del primer miembro, se obtuvo
el del segundo, por lo que queda demostrada la ley del múltiplo
constante.
3. Ley del producto de limites
\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=\lim_{x\rightarrow
a}f(x)\lim_{x\rightarrow a}g(x)\]
Demostración:
Partiendo de la definición para la función combinada.
\[\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/\left | x-a \right
|< \delta \Rightarrow \left | f(x)g(x)-LM \right |<
\varepsilon\]
Es posible descomponer la expresión de interés como en el caso de la
suma y resta usando una cantidad auxiliar que permita la factorización
adecuada de los términos:
\[\left | f(x)g(x)+f(x)M-f(x)M-LM \right |=\left |
M(f(x)-L)+f(x)(g(x)-M) \right |\]
Entonces por desigualdad triangular se tiene:
\[\left | M(f(x)-L)+f(x)(g(x)-M) \right |\leq \left | M(f(x)-L) \right
|+\left | f(x)(g(x)-M) \right |\]
\[\left | M(f(x)-L)+f(x)(g(x)-M) \right |\leq \left | M \right |\left |
f(x)-L \right |+\left | f(x) \right |\left |(g(x)-M\right |\]
Note que, a diferencia de la suma o resta, la descomposición se compone
de términos que se multiplican. Como se sabe que M es cualquier cantidad
pero f(x) es una función, es necesario acotarla. Usando la
definición para "L" se puede operar de una manera similar como se hizo
con "M" en la ley de la diferencia.
\[-\varepsilon +L< f(x)< \varepsilon +L\]
Se sabe que $-\varepsilon +L$ es cualquier cantidad menor a f(x) por lo
que, se podría cambiar la expresión a:
\[-\varepsilon -L< f(x)< \varepsilon +L\]
\[\left | f(x) \right |< \varepsilon +L\]
Considerando que L es una cantidad siempre positiva se tiene la
siguiente acotación:
\[\left | M(f(x)-L)+f(x)(g(x)-M) \right |< \left | M \right
|\varepsilon +(\varepsilon +\left | L \right |)\varepsilon\]
Entonces la definición del primer miembro de la ley cambia a:
\[\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/\left | x-a \right
|< \delta \Rightarrow \left | f(x)g(x)-LM \right |<
\varepsilon(\left | L \right |+\left | M \right |)+\varepsilon
^{2}\]
Entonces en todo momento se cumple la definición de limite encontrando
una nueva cota del primer miembro de la igualdad de la ley utilizando el
segundo miembro. Así entonces se comprueba la ley del producto.
4. Ley del cociente de limites
\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow
a}f(x)}{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}\]
Donde $\lim_{x\rightarrow a}g(x)\not\neq0$
Demostración:
Es posible cambiar la expresión del primer miembro a:
\[\lim_{x\rightarrow a}\left [ f(x)\frac{1}{g(x)} \right ]\]
De manera que se tiene un producto. Sin embargo, ¿Es posible decir
que $\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{g(x)} =\frac{1}{M}$?
Demostrando si la expresión es cierta se tiene:
\[\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/\left | x-a \right
|< \delta \Rightarrow \left | \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M} \right
|< \varepsilon\]
\[\left | \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M} \right |=\left |
-\frac{g(x)-M}{g(x)M} \right |\]
\[\left | \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M} \right |=\frac{\left | g(x)-M
\right |}{\left | g(x) \right |\left | M \right |}\]
Acotando utilizando la definición de limite para "M":
\[\frac{\left | g(x)-M \right |}{\left | g(x) \right |\left | M
\right |}< \frac{\varepsilon }{(\varepsilon +\left | M \right
|)\left | M \right |}\]
Entonces, la definición para 1/g(x) cambia a:
\[\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0/\left | x-a
\right |< \delta \Rightarrow \left | \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}
\right |< \frac{\varepsilon }{(\varepsilon +\left | M \right
|)\left | M \right |}\]
Entonces demostrada la expresión es posible descomponer el cociente
en un producto y esta ley si está demostrada por lo que se comprueba
igualmente la ley del cociente.
5. Ley de la potencia de limites
\[\lim_{x\rightarrow a}\left [ f(x) \right ]^{n}=\left [
\lim_{x\rightarrow a}f(x) \right ]^{n}\]
Donde n es un numero natural.
Demostración:
Es posible cambiar la expresión del primer miembro a:
\[\lim_{x\rightarrow a}\left [ f(x) \right ]^{n}=\lim_{x\rightarrow
a}\left [ \underset{n\: veces}{\underbrace{f(x)\cdots f(x)}} \right
]\]
Note que se tiene un producto y como esta ley está demostrado, se
valida así la ley de la potencia.
6. Ley de la raíz de un limite
\[\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow
a}f(x)}\]
Donde n es un numero natural y si es par se supone que
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)> 0$
Demostración:
Es posible cambiar la expresión del primer miembro a:
\[\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\lim_{x\rightarrow
a}f(x)^{\frac{1}{n}}\]
Obteniendo así una potencia, la cual está demostrada de manera que
también se valida la raíz.
Como estas leyes son validas, se puede hallar limites como:
\[\lim_{x\rightarrow
5}\frac{\sqrt{8x-7}+x^{2}}{1+x\sqrt{10-2x}}\]
Aplicando las leyes se puede separar los limites en la forma:
\[\frac{\sqrt{\lim_{x\rightarrow 5}(8x-7)}+\lim_{x\rightarrow
5}x^{2}}{\lim_{x\rightarrow 5}1+\lim_{x\rightarrow 5}x\left [
\sqrt{\lim_{x\rightarrow 5}(10-2x)} \right ]}\]
Como 5 se define en el dominio de cada expresión descompuesta y
asegurando que el limite en el denominador es distinto de cero se
puede realizar la sustitución directa.
\[\frac{\sqrt{8(5)-7}+5^{2}}{1+5\left [ \sqrt{10-2(5)} \right
]}\]
\[\frac{\sqrt{33}+25}{1+\sqrt{10-10}}=\sqrt{33}+25\]
Cabe mencionar que si nos aproximamos a valores superiores a 5, se
tiene una raíz negativa por lo que el limite lateral derecho no
existe. Entonces debemos denotar:
\[\lim_{x\rightarrow
5^{-}}\frac{\sqrt{8x-7}+x^{2}}{1+x\sqrt{10-2x}}=\sqrt{33}+25\]
Ejercicios:
a) Calcular los limites
1) $\lim_{x\rightarrow \frac{1}{3}}(x^{3}-2x^{2}+x-1)$
2) $\lim_{x\rightarrow 5}(\sqrt{x^{2}-2x}-\sqrt{3x})$
3) $\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}$
4) $\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-10}{5}$
5) $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{6\sqrt{x^{3}+1}}{x^{3}-3x}$
6) $\lim_{x\rightarrow e}\ln
\sqrt{\frac{x^{6}\sqrt[3]{x}}{e^{8}}}$
b) Evaluar los limites laterales
1) $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x-2}}{2x}$
2) $\lim_{x\rightarrow 0}\left | x^{3}-2x \right |$
3) $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{3}-27}{\left | x-1 \right
|}$
4) $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ donde $f(x)=\left\{\begin{matrix}
e^{x^{2}}, &x< 1 \\ e\sin (x+1), &1\leq x
\end{matrix}\right.$
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