Estudio de funciones
La derivada es una herramienta con la que se pueden estudiar
características como el crecimiento, decrecimiento o concavidad de una
función. Estas permiten graficar una curva de una manera analítica sin
necesidad de una tabla de valores, también permite determinar si esta es
suave.
Así entonces, se puede realizar un estudio mas profundo del comportamiento de la curva
de una función con los conceptos de dominio, rango, continuidad, asíntotas, y los siguientes.
El criterio de la primera derivada
Este criterio permite estudiar
funciones crecientes y decrecientes. La idea parte de la
definición de la derivada
donde se puede decir que:
- Si $f'(x)> 0$
en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo
- Si $f'(x)< 0$
en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo
Por ejemplo, hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
de
$f(x)=x^{4}-3x^{3}+1$
Hallando la primera derivada:
$f'(x)=4x^{3}-9x^{2}$
Por el criterio se deducen las inecuaciones:
$4x^{3}-9x^{2}> 0$ y $4x^{3}-9x^{2}< 0$,
y solo basta resolver una de ellas para hallar la solución de ambas
obteniendo:
\[4x^{3}-9x^{2}= 0\]
\[x^{2}(4x-9)= 0\]
Entonces se puede decir que f es decreciente en
$\left ( -\infty ,\frac{9}{4} \right )$
y creciente en $\left ( \frac{9}{4}
,\infty \right )$.
Note que se toman intervalos abiertos ya que en los valores de "x" donde
la derivada es 0 se sabe que la curva no crece ni decrece. Esto brinda
información acerca de un valor mínimo o máximo. Intuitivamente se
puede decir que si
$f'$
cambia de positiva a negativa al rededor de un número
$x_{0}$
entonces el valor que toma $f$
evaluado en dicho número es un máximo y si cambia de negativa a positiva,
se tiene un valor mínimo. Entonces en base a la recta numérica de la
solución de las inecuaciones ilustrada anteriormente, se puede decir que
en
$x_{0}=\frac{9}{4}$
se tiene un valor mínimo, y para hallar el
punto mínimo solo basta evaluar el valor de
$x_{0}$
en f, obteniendo $P_{min}=\left (
\frac{9}{4},-\frac{1931}{256} \right )$.
Utilizando una graficadora para trazar la curva, se puede corroborar el
resultado visualmente:
El criterio de la segunda derivada
Este criterio permite estudiar la concavidad de una curva. La idea
parte del criterio anterior. Por ejemplo, analicemos la información que
brindan la primera y segunda derivada de la función
$f(x)=e^{-x^{2}}$.
Hallando las derivadas:
\[f'(x)=-2xe^{-x^{2}}\]
\[f''(x)=2e^{-x^{2}}+4xe^{-x^{2}}=2e^{-x^{2}}(2x^{2}-1)\]
Utilizando una graficadora para trazar la curva de la función original con
su primera derivada se tiene:
Esta gráfica ilustra el criterio de la primera derivada, donde se puede
observar que cuando
$f'$ toma valores positivos, $f$
crece, luego cuando $f'$
es negativa, $f$
decrece y cuando $f'$
es cero, en este caso se tiene un valor máximo. Si se realiza el
mismo análisis sobre las curvas de la primera y segunda derivada se
tiene:
Note que donde la curva de la segunda derivada es cero, la primera derivada
presenta un valor máximo y un valor mínimo. Relacionando esta característica
con la función original de forma visual se tiene:
Entonces se dice que en lo valores máximos y mínimos de la curva de la
primera derivada, la curva de la función original presenta un cambio en su
curvatura. Los puntos donde sucede este cambio se los denominan
puntos de inflexión y como se puede observar, se pueden
determinar cuando la segunda derivada sea cero. Por otro lado, si esta
toma valores positivos, se puede notar que la curva de la función original
se abre hacia arriba, o en otras palabras, es cóncava hacia arriba,
y si la segunda derivada toma valores negativos, la curva de la función
original se abre hacia abajo o es cóncava hacia abajo. Entonces, en
base a este análisis se puede decir que:
- Si $f''(x)> 0$
en un intervalo, entonces f es cóncava hacia arriba en ese
intervalo
- Si $f''(x)< 0$
en un intervalo, entonces f es cóncava hacia abajo en ese
intervalo
Entonces para el ejemplo, mediante el nuevo criterio se deducen y
resuelven las desigualdades
$2e^{-x^{2}}(2x^{2}-1)> 0$
y $2e^{-x^{2}}(2x^{2}-1)< 0$
como sigue
\[2e^{-x^{2}}(2x^{2}-1)= 0\]
Entonces se puede decir que f es cóncava hacia arriba en
$\left ( -\infty ,-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\cup \left
(\frac{\sqrt{2}}{2},\infty \right )$
y cóncava hacia abajo en $\left (
-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right )$.
Luego los puntos de inflexión se obtienen evaluando el valor de las
raíces halladas en la función original, obteniendo
$P_{I1}:\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2},e^{-\frac{1}{2}} \right )$
y $P_{I2}:\left (
\frac{\sqrt{2}}{2},e^{-\frac{1}{2}} \right )$.
Curvas suaves
Se sabe que una función es derivable en un número si ésta es continua y
no presenta un punto anguloso. En otras palabras la curva debe ser
suave y continua para que sea derivable en un valor de su
dominio.
Ejemplo, determinar si las siguientes funciones son suaves:
a) $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}, &x< 0 \\ -x^{3}, &x\geq 0
\end{matrix}\right.$
b) $r(t)=\left \langle t^{2},-t^{3} \right \rangle$
En (a) es necesario analizar la continuidad, entonces:
\[\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x^{2}=0\]
\[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}-x^{3}=0\]
\[\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=0\]
Como f es continua, entonces se puede analizar la derivabilidad
\[f'(0^{-})=2x\mid _{x=0}=0\]
\[f'(0^{+})=3x^{2}\mid _{x=0}=0\]
\[f'(0)=0\]
Así entonces se concluye que la función es derivable en x=0, de manera
que se puede decir que la curva es suave en dicho número y en todo su
dominio.
En (b) se puede notar que las funciones componentes son derivables y por
ende continuas en todo su dominio, entonces hallando la derivada de forma
directa se tiene:
\[r'(t)=\left \langle 2t,-3t^{2} \right \rangle\]
Sin embargo, si hallamos el vector tangente en t=0 se tiene que
$r'(0)=\left \langle 0,0 \right \rangle$.
Note que se obtuvo un vector nulo, el cuál indica que la curva
no posee un vector tangente para el valor de "t" dado. Entonces, si no
existe un vector tangente a una curva continua en un valor de su
dominio, se dice que esta no es suave y presenta una cúspide en
dicho valor.
Graficando las curvas se pueden comprobar los análisis realizados
visualmente.
|
|
(a) Curva suave |
|
|
(b) Curva con esquina o cúspide |
Por otro lado, se puede notar que para valores de t menores a 0, la
curva (b) es suave, así como si se tomaran solo valores de t mayores a
0. Entonces, tomando los trozos por separado, se puede decir que la
función dada en el inciso (b) es suave a pedazos.
Ejemplos prácticos:
1) Determinar los intervalos donde la astroide dada por
$r(t)=\cos ^{3}t\mathbf{i}+\sin ^{3}t\mathbf{j}$
es suave
Derivando r se tiene:
\[r'(t)=-3\cos ^{2}t\sin t\mathbf{i}+3\sin ^{2}t\cos t\mathbf{j}\]
La curva no es suave en los valores de "t" donde
$r'(t)=0$, entonces:
\[I)\: -3\cos ^{2}t\sin t=0\]
\[t=\left \{ n\pi ,\frac{\pi }{2}(2n-1) \right \}\]
\[II)\: 3\sin ^{2}t\cos t=0\]
\[t=\left \{ n\pi,\frac{\pi }{2}(2n-1) \right \}\]
Los valores de "t" de interés son aquellos que satisfagan ambas
ecuaciones, así se cumple que las dos componentes del vector tangente
sean 0. En este caso se puede notar que ambas ecuaciones presentan las
mismas soluciones. Tomando algunos valores de "n", se puede decir que la
astroide es suave en los intervalos:
$...,\left (-2\pi,-\frac{3\pi }{2} \right ),\left (-\frac{3\pi }{2} ,-\pi
\right ),\left (-\pi ,-\frac{\pi }{2} \right ),\left (-\frac{\pi }{2},0
\right ),\left (0,\frac{\pi }{2} \right ),\left (\frac{\pi }{2},\pi \right
),\left ( \pi,\frac{3\pi }{2} \right ),\left (\frac{3\pi }{2} ,2\pi \right
), ...$.
Note que se tienen infinitos intervalos ya que se encontraron infinitas
soluciones a las ecuaciones. Por otro lado, es mas práctico utilizar los
intervalos que se contengan en
$[0,2\pi ]$
|
| Algunos valores de "t" en los que la astroide dada no es suave |
2) Realizar un esbozo de la curva dada por la función
$f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}}$
analizando todas las características necesarias
- Hallando el dominio:
\[\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}\geq 0\]
\[Domf:(-\infty ,-2)\cup [-1,1]\cup (2,\infty )\]
- Mediante el dominio es posible notar que la curva presenta dos asíntotas verticales, hallando el resto se tiene:
\[\lim_{x\rightarrow -\infty
}\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}}=\lim_{x\rightarrow -\infty
}\frac{\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{-\sqrt{x^{2}}}}{\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{-\sqrt{x^{2}}}}=\lim_{x\rightarrow
-\infty }\sqrt{\frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{4}{x^{2}}}}\]
\[\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty
}f(x)=\sqrt{1}=1\]
Asíntotas verticales: $x=-2$ y
$x=2$
Asíntota horizontal:
$y=1$
No se presentan asíntotas oblicuas
- Hallando los intervalos de crecimiento o decrecimiento y puntos máximos o mínimos utilizando el método logarítmico de derivación:
\[\ln y=\frac{1}{2}[\ln (x^{2}-1)-\ln (x^{2}-4)]\]
\[\frac{y'}{y}=\frac{1}{2}\left [\frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{2x}{x^{2}-4}
\right ]\]
\[y'=-3x\sqrt{\frac{1}{(x^{2}-4)^{3}(x^{2}-1)}}\]
\[\frac{-3x}{\sqrt{(x^{2}-4)^{3}(x^{2}-1)}}=0\]
\[f'(x)> 0\: si\: x< 0\]
\[f'(x)< 0\: si\: x> 0\]
f es creciente en $(-\infty,-2
)\cup [-1,0)$
f es decreciente en $(0,1]\cup
(2,\infty )$
En $x=0$
hay un valor máximo, entonces
$P_{Max}:\left ( 0,\frac{1}{2} \right )$
- Estudiando la concavidad y hallando los puntos de inflexión:
\[\ln y'=\ln (-3x)-\frac{1}{2}(3\ln (x^{2}-4)+\ln (x^{2}-1))\]
\[\frac{y''}{y'}=\frac{1}{x}-\frac{4x^{3}-7x}{(x^{2}-4)(x^{2}-1)}\]
\[y''=-\frac{3}{\sqrt{(x^{2}-4)^{3}(x^{2}-1)}}\left (\frac{1}{x}
-\frac{4x^{3}-7x}{(x^{2}-4)(x^{2}-1)} \right )\]
\[-\frac{3}{\sqrt{(x^{2}-4)^{3}(x^{2}-1)}}\left (\frac{1}{x}
-\frac{x(4x^{2}-7)}{(x^{2}-4)(x^{2}-1)} \right )=0\]
\[-\frac{3}{x\sqrt{(x^{2}-4)^{3}(x^{2}-1)}}=-\frac{x(4x^{2}-7)}{(x^{2}-4)(x^{2}-1)}\left
( \frac{3}{\sqrt{(x^{2}-4)^{3}(x^{2}-1)}}\right )\]
\[\frac{1}{x^{2}}=\frac{4x^{2}-7}{(x^{2}-4)(x^{2}-1)}\]
\[3x^{4}-2x^{2}-4=0\]
\[x^{2}=\frac{2\pm \sqrt{52}}{6}\]
\[x=\pm \sqrt{\frac{1}{3}\pm \frac{\sqrt{13}}{3}}\]
Dos de las soluciones no están definidas en los números reales ya
que son raíces negativas y las otras dos son valores donde f no está
definida. Entonces, debido a esta incongruencia se dice que f no
posee puntos de inflexión. Por otro lado, se puede determinar los
intervalos de concavidad usando el dominio de la función:
Si $x< -2\rightarrow
f''(x)> 0$
Si $-1< x< 1\rightarrow
f''(x)< 0$
Si $x> 2\rightarrow
f''(x)> 0$
Entonces f es cóncava hacia arriba en
$(-\infty ,-2)\cup (2,\infty )$
y es cóncava hacia abajo en $(-1 ,1)$.
Toda esta información es suficiente para esbozar la curva de la
función dada
|
| $f(x)=+\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}-4}}$ |
Ejercicios:
a) Realice un esbozo de la curva dada por las funciones siguientes determinando: el dominio, asíntotas, crecimiento, puntos máximos y mínimos, puntos de inflexión y concavidad
1) $f(x)=\frac{2}{x^2-2}$
2) $f(x)=\ln (\frac{x}{x-1})$
3) $f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$
4) $f(x)=-\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$
5) $f(x)=\frac{x}{2\sqrt{9-x^{2}}}$
6) $f(x)=x^{4}-2x^{2}$
b) Determine los valores de "t" donde las curvas dadas por las siguientes funciones no son suaves
1) $r(t)=\left \langle 2\cos t-\cos 2t,2\sin t-\sin 2t \right
\rangle$
2) $r(t)=\left \langle \sin 2t,2\sin t \right \rangle$
3) $r(t)=\left \langle t^{4}+1,t^{3}+t \right \rangle$
4)
$r(t)=(t^{2}-2)\mathbf{i}+t^{3}\mathbf{j}+(t^{4}+1)\mathbf{k}$
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