Derivadas de orden superior y recta tangente a una curva paramétrica
Como la derivada de una función resulta ser otra función, esta también se puede derivar, obteniéndose así la llamada segunda derivada o derivada de segundo orden. Asimismo, esta puede ser otra función que igualmente se puede derivar obteniendo la tercera derivada o derivada de tercer orden y así puede continuar hasta la derivada enésima o de orden n. Se pueden escribir estas derivadas como sigue:
\[y''=\frac{d}{dx}\left ( \frac{dy}{dx} \right )=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\]
\[y'''=\frac{d^{3}y}{dx^{3}}\]
\[y^{\mathrm{iv}}=\frac{d^{4}y}{dx^{4}}\]
\[y^{n}=\frac{d^{n}y}{dx^{n}}\]
Note que en una de las formas de escritura, para derivadas de cuarto orden o mayores, se utilizan números romanos.
Ejemplos: hallar la derivada enésima de las siguientes funciones:
1) $f(x)=x^{3}-x$
Aplicando las reglas de derivación conocidas se tiene que:
\[\frac{d}{dx}(f(x))=3x^{2}-1\]
\[\frac{d^{2}}{dx^{2}}(f(x))=6x\]
\[\frac{d^{3}}{dx^{3}}(f(x))=6\]
\[\frac{d^{4}}{dx^{4}}(f(x))=0\]
Si se continua derivando, el resultado siempre será 0, por lo que la derivada n-ésima es 0. Sin embargo, el resultado es distinto de cero cuando el orden es menor o igual 3.
En algunos casos como:
\[f(x)=(x+1)^{10}\]
es posible determinar una expresión para las derivadas de orden menor o igual a 10 como sigue:
\[f'(x)=10(x+1)^{9}\]
\[f''(x)=(10)(9)(x+1)^{8}\]
\[f'''(x)=(10)(9)(8)(x+1)^{7}\]
\[f^{iv}(x)=(10)(9)(7)(x+1)^{6}\]
Note que no se desarrolló el producto para reconocer que se tiene una operación que obedece a:
\[\frac{10!}{(10-n)!}\]
Por lo que se concluye que:
\[f^{n}(x)=\frac{10!}{(10-n)!}(x-1)^{10-n}\: donde\: n\leq 10\]
Se agrega la condición para "n" ya que si el orden de la derivada es mayor al grado de la potencia, entonces esta será cero. Por ende, se puede decir que en funciones polinómicas, la derivada es distinta de cero cuando el orden sea menor o igual al grado.
2) $f(x)=e^{7x-1}$
\[f'(x)=7e^{7x-1}\]
\[f''(x)=49e^{7x-1}\]
\[f'''(x)=343e^{7x-1}\]
Note que en la primera derivada se tiene la misma función multiplicada por 7. Luego, en la segunda derivada se tiene la misma f(x) y la constante resulta del producto 7x7. En la tercera derivada se tiene la misma f(x) y la constante resulta del producto 7x7x7, luego si se sigue derivando se tendrá la misma función original y la constante se volverá a multiplicar por 7. Entonces se puede decir que para la derivada de orden n se tiene que:
\[f^{n}(x)=7^{n}e^{7x-1}\]
3) $f(x)=\frac{1}{x}$
\[f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}\]
\[f''(x)=\frac{2x}{x^{4}}=\frac{2}{x^{3}}\]
\[f'''(x)=-\frac{6x^{2}}{x^{6}}=-\frac{6}{x^{4}}\]
\[f^{\mathrm{IV}}(x)=\frac{24x^{3}}{x^{8}}=\frac{24}{x^{5}}\]
\[f^{\mathrm{V}}(x)=-\frac{120x^{4}}{x^{10}}=-\frac{120}{x^{6}}\]
En este caso no resulta tan sencillo determinar la expresión de la derivada n-ésima. Primero la alternación de los signos se puede escribir de la forma $(-1)^{n}$. No obstante el signo debe corresponder al orden de la derivada, entonces se realiza la siguiente comprobación:
Si $n=1\rightarrow (-1)^{1}=-1$
Si $n=2\rightarrow (-1)^{2}=1$
Si $n=3\rightarrow (-1)^{3}=-1$
Si $n=4\rightarrow (-1)^{4}=1$
Si $n=5\rightarrow (-1)^{5}=-1$
El signo para cada valor de n coincide con el del orden respectivo de la derivada, por lo que la expresión deducida para el signo es correcta. Luego note que la constante que acompaña a las funciones derivadas siguen la sucesión 1,2,6,24,120,.. Esta corresponde a la expresión del factorial de un número, realizando la comprobación:
Si $n=1\rightarrow 1!=1$
Si $n=2\rightarrow 2!=2$
Si $n=3\rightarrow 3!=6$
Si $n=4\rightarrow 4!=24$
Si $n=5\rightarrow 5!=120$
Por último, resulta sencillo deducir el valor de la potencia de x respecto al orden de la derivada de manera que se tiene:
\[f^{n}(x)=(-1)^{n}\frac{n!}{x^{n+1}}\]
Expresar derivadas enésimas puede ayudar a crear fórmulas para hallar derivadas de orden superior de una manera mas sencilla sin tener que derivar una y otra vez.
Por otro lado, existen funciones cuyas derivadas de orden superior resultan complicadas de determinar. Por ejemplo, intentemos determinar la cuarta derivada de $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=4$
Aplicando derivación implícita:
\[\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}y'=0\]
\[y'=-\left ( \frac{x}{y} \right )^{-\frac{1}{3}}=-\left ( \frac{y}{x} \right )^{\frac{1}{3}}\]
Luego, hallando la segunda derivada:
\[y''=-\frac{1}{3}\left ( \frac{y}{x} \right )^{-\frac{2}{3}}\left ( \frac{y}{x} \right )'\]
\[y''=-\frac{1}{3}\left ( \frac{y}{x} \right )^{-\frac{2}{3}}\left ( \frac{xy'-y}{x^{2}} \right )\]
\[y''=-\frac{1}{3}\left ( \frac{y}{x} \right )^{-\frac{2}{3}}\left ( \frac{xy'-y}{x^{2}} \right )\]
Como se conoce la expresión de la primera derivada se tiene que:
\[y''=-\frac{1}{3}\left ( \frac{y}{x} \right )^{-\frac{2}{3}}\left ( \frac{-x\left ( \frac{y}{x} \right )^{\frac{1}{3}}-y}{x^{2}} \right )\]
\[y''=\frac{1}{3}\left ( \frac{y}{x} \right )^{-\frac{2}{3}}\left (\frac{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}+y}{x^{2}} \right )\]
\[y''=\frac{x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}}{3y^{\frac{1}{3}}x^{\frac{4}{3}}}\]
Es notable que esta expresión no resulta sencilla de abreviar y más aún de derivar, por lo que no será sencillo determinar la tercera ni cuarta derivada. Por esta razón, funciones como ésta conviene reescribirlas a su forma vectorial para facilitar el trabajo operativo de derivación. Por tanto, si se cambia la ecuación dada a:
\[(x^{\frac{1}{3}})^{2}+(y^{\frac{1}{3}})^{2}=2^{2}\]
\[\left ( \frac{x^{\frac{1}{3}}}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{y^{\frac{1}{3}}}{2} \right )^{2}=1\]
Se puede parametrizar de la siguiente manera:
\[\frac{x^{\frac{1}{3}}}{2}=\cos t\rightarrow x=8\cos ^{3}t\]
\[\frac{y^{\frac{1}{3}}}{2}=\sin t\rightarrow y=8\sin ^{3}t\]
Luego, expresando la ecuación vectorial asociada se tiene que:
\[r(t)=8\cos ^{3}t\mathbf{i}+8\sin ^{3}t\mathbf{j}\]
Esta función es más sencilla de derivar a comparación de la implícita, por lo que determinar la cuarta derivada resulta ser un trabajo menos tedioso.
\[r'(t)=-24\cos ^{2}t\sin t\mathbf{i}+24\sin ^{2}t\cos t\mathbf{j}\]
\[r''(t)=-24(-2\cos t\sin ^{2}t+\cos ^{3}t)\mathbf{i}+24(2\sin t\cos^{2} t-\sin ^{3}t)\mathbf{j}\]
\[r'''(t)=-24(2\sin ^{3}t-7\sin t\cos ^{2}t)\mathbf{i}+24(2\cos^{3} t-7\sin^{2} t\cos t)\mathbf{j}\]
\[r^{\mathrm{iv}}(t)=-24(20\sin ^{2}t\cos t-7\cos ^{3}t)\mathbf{i}+24(-20\sin t\cos^{2} t+7\sin ^{3}t)\mathbf{j}\]
Recta tangente a una curva parámetrica
Si las funciones componentes de la primera derivada de la función vectorial del ejemplo anterior se interpretan como ecuaciones paramétricas, se tiene que
\[x'=-24\cos ^{2}t\sin t\]
\[y'=24\sin ^{2}t\cos t\]
Suponiendo una situación donde se desea hallar la recta tangente a la curva en $t=\frac{\pi }{4}$, evaluando en "r" se tiene:
\[x\left ( \frac{\pi }{4} \right )=y\left ( \frac{\pi }{4} \right )=2\sqrt{2}\]
Si se sabe que $x'=\frac{dx}{dt}$, $y'=\frac{dy}{dt}$ y que la pendiente de la recta tangente a una curva es $m=\frac{dy}{dx}$, entonces se puede decir que:
\[m(t)=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\: \: \: \: \textrm{si}\; \frac{dx}{dt}\neq 0\]
Por consiguiente
\[m(t)=\frac{24\sin ^{2}t\cos t}{-24\cos ^{2}t\sin t}=-\frac{\sin t}{\cos t}=-\tan t\]
\[m\left ( \frac{\pi }{4} \right )=-1\]
Luego, por traslaciones se tiene que:
\[y=-(x-2\sqrt{2})+2\sqrt{2}=-x+4\sqrt{2}\]
Utilizando una graficadora para visualizar la curva paramétrica con la recta tangente se tiene:
Como información adicional, esta curva se la llama astroide la cual corta en los puntos (8,0); (0,8); (-8,0) y (0,-8). Estos valores se dan por los coeficientes que acompañan a las funciones trigonométricas en la ecuación paramétrica. La curva pertenece a la familia de hipocicloides las cuales son aquellas que se construyen a partir de dos circunferencias, una generatriz (circunferencia que rueda sin deslizarse) y una directriz (circunferencia fija donde la generatriz rueda en su interior).
Ejemplo práctico: Hallar los valores de t en los que se presenten rectas verticales tangentes a la epicicloide dada por
\[\left\{\begin{matrix} x(t)=5\cos t-\cos 5t\\ y(t)=5\sin t-\sin 5t \end{matrix}\right.\]
Derivando las ecuaciones paramétricas
\[\left\{\begin{matrix} x'(t)=-5\sin t+5\sin 5t\\ y'(t)=5\cos t-5\cos 5t \end{matrix}\right.\]
Hallando la función para la pendiente:
\[m(t)=\frac{5\cos t-5\cos 5t}{-5\sin t+5\sin 5t}\]
La pendiente de una recta vertical no está definida, entonces los valores de "t" pedidos son los que hacen que el denominador de la función "m" sea cero, por lo que se procede a resolver la ecuación trigonométrica siguiente:
\[-5\sin t+5\sin 5t=0\]
\[\sin 5t-\sin t=0\]
\[2\cos 3t\sin 2t=0\]
\[\left\{\begin{matrix} \cos 3t=0\Rightarrow & t=\frac{\pi }{6}(2n-1)\\ \sin 2t=0\Rightarrow & t=\frac{n\pi }{2} \end{matrix}\right.\]
La segunda solución hace que tanto el numerador como el denomimador sean cero resultando un valor indeterminado. Por ende solo se tomará la primera solución.
Para comprobar la respuesta se supondrá que $n=0$ obteniendo que $t=-\frac{\pi }{6}$. Luego, evaluando en las ecuaciones paramétricas se obtiene el punto $A:\left (3\sqrt{3},-\frac{5}{2} \right)$. Este es el punto de tangencia donde el valor de la abscisa es la ecuación de la recta tangente a la curva.
\[x=3\sqrt{3}\]
Utilizando una graficadora, se puede corroborar la respuesta visualmente
Así entonces se comprueba el resultado ya que escogiendo cualquier "n", se obtendrá la misma ecuación de la recta vertical o la que se refleja en el eje de ordenadas. Entonces la curva presenta rectas tangentes verticales en $t=\frac{\pi }{6}(2n-1)$.
Ejercicios:
a) Halle el orden de la derivada pedido para las funciones dadas
1) $f(x)=\frac{1}{x+4}$, orden 20
2) $f(x)=\ln (x-7)$, orden 10
3) $f(x)=\frac{2+x}{2-x}$, orden 10
4) $r(t)=\left \langle (t-3)^{20},2^{4t} \right \rangle$, orden 15
5) $f(x)=\log _{5}x$, orden 8
6) $x^{2}+4y^{2}-4x-8y+3=0$, orden 5
7) $f(x)=3x^{4}+5\sin x+1$, orden 20
8) $r(t)=\left \langle \sqrt[3]{t^{2}},\sqrt{t} \right \rangle$, orden 5
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el valor de "t" pedido, puede utilizar una graficadora para corroborar su respuesta visualmente
1) $r(t)=\left \langle t\cos t,t\sin t \right \rangle$ en $t=\pi$
2) $r(t)=\left \langle t^{2}-2 t,5-2t \right \rangle$ en $t=0$
3) $r(t)=\left \langle 3\cos t,2\sin t \right \rangle$ en $t=\frac{\pi}{2}$
4) $r(t)=\left \langle e^{\sqrt{t}},t-t^{2} \right \rangle$ en $t=1$
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