La serie de Laurent
\[
f(z)=\frac{1}{z^{3}}\left(\frac{1+2z^{2}}{1+z^{2}}\right)=\frac{1}{z^{3}}\left(\frac{i/2}{i+z}+\frac{-i/2}{i-z}\right)=\frac{1}{2z^{3}}\left[\frac{1}{1+\frac{z}{i}}-\frac{1}{1-\frac{z}{i}}\right]\]
\[
f(z)=\frac{1}{2z^{3}}\left[\sum_{n=0}^{\infty}(zi)^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}(zi)^{n}(-1)^{n}\right]=\frac{1}{2z^{3}}\sum_{n=0}^{\infty}(zi)^{n}[1-(-1)^{n}]\]
La sucesión $1-(-1)^{n}$
tiene un comportamiento interesante, pues para valores pares de "n", el
resultado de dicha sucesión es siempre 2. Por otro lado, para valores
impares de "n", el resultado es siempre 0. Estos resultados pueden ayudar
a omitir los valores para los que la serie da 0, ya que la sucesión
multiplica a cada elemento de la serie. De modo que tomando aquellos
valores para los que la serie es distinta de 0 se tiene que
\[f(z)=\frac{1}{2z^{3}}\sum_{n=0}^{\infty}(zi)^{2n}(2)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{(2n-3)}(-1)^{n}\]
Observe que no se hizo el desarrollo en serie del factor
$\frac{1}{z^{3}}$, pues el centro de la serie de Maclaurin es precisamente el polo de este
factor. Asimismo analice el dominio de convergencia
mostrada en la siguiente figura:
|
| Dominio de convergencia multiplemente conexo |
Para la serie de Maclaurin, el dominio de convergencia es el conjunto
descrito por $|z|<1$. No obstante se tiene una
singularidad
en "z=0", de modo que se tienen problemas de convergencia alrededor de ese
punto. Por tanto, el dominio de convergencia cambia a la expresión $0<|z|<1$ describiendo un anillo en el plano complejo. Esto cambia el comportamiento
de la serie, lo que ya no podria llamarse de Maclaurin. Pues observe los
primeros elementos.
\[ f(z)=\frac{1}{z^{3}}-\frac{1}{z}+z-z^{3}+z^{5}-...\]
Las potencias negativas no forman una serie de Taylor
o Maclaurin, pero es evidente que constituyen a una nueva clase de serie
que puede dividirse en dos partes: La parte con las potencias negativas de
"z" llamada parte principal
(elementos que contienen la singularidad) y la parte con las potencias no
negativas de "z" llamada parte analítica
(elementos que no presentan singularidades). En general, si $z_{0}$ es el
centro de la serie:
\[ f(z)=\underset{\text{Parte
principal}}{\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-z_{0})^{-n}}}+\underset{\text{Parte
analitica}}{\underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}}}\]
Sumando las partes por propiedades de sumatoria, se tiene que:
\[ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}\]
Válida en el anillo $r<|z-z_{0}|<R$
Esta serie se denomina serie de
Laurent
en honor al trabajo del matemático francés Pierre Laurent, el cual
menciona una deducción análoga a la serie de Taylor, partiendo esta vez de
una curva cerrada "C" contenida en un anillo como el que se muestra en la
siguiente figura
|
|
|
(a) La trayectoria C encierra a $z_{0}$ y está contenida en el anillo $\mathit{R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}}$, (b) El anillo se parte en dos regiones donde $\Gamma_{1}$ encierra a z
|
La imagen (a) de la figura anterior muestra la premisa de la serie de
Laurent, donde la circunferencia de radio "R2" debe girar en sentido
antihorario y la de radio "R1" en sentido horario. Esto para cuando se
divida el anillo en dos pedazos, las regiones resultantes tengan el mismo
sentido (ver imagen (b) de la figura mencionada). Es notable que en las
regiones obtenidas de la partición del anillo, si la dirección de las
curvas C1 y C2 son en sentido antihorario, se puede operar una integral de Cauchy, donde "z" se comporta como un punto singular de una función de la
forma $\frac{f(w)}{w-z}$:
\[ f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint _{\Gamma _{1}}\frac{f(w)}{w-z}\]
\[\oint _{\Gamma _{2}}\frac{f(w)}{w-z}=0\]
Así entonces, si se multiplica la segunda expresión por $\frac{1}{2\pi i}$,
f(z) puede ser escrita como
\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint _{\Gamma _{1}}\frac{f(w)}{w-z}+\frac{1}{2\pi
i}\oint _{\Gamma _{2}}\frac{f(w)}{w-z}\]
A partir de estas integrales deducidas pasemos al anillo de la imagen (a).
No obstante, considere que las regiones $\Gamma_{1}$ y $\Gamma_{2}$
juntas forman dicho anillo, donde las circunferencias mayor y menor giran en
sentidos opuestos. Para hacer que ambas giren en el mismo sentido y que esta
a su vez sea antihorario, se puede invertir el signo de la integral que le
corresponde a la circunferencia inferior obteniendo
\[f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint _{R_{2}}\frac{f(w)}{w-z}-\frac{1}{2\pi
i}\oint _{R_{1}}\frac{f(w)}{w-z}\]
Para la primera integral, la representación en serie, siendo $z_{0}$
el centro, se tiene
\[\frac{1}{w-z}=\frac{1}{w-z_{0}}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_{0}}{w-z_{0}}\right)^{n}\]
Esta es una serie de Taylor común, por lo que es válido para la
circunferencia de radio R2 de modo que $\left |\frac{z-z_{0}}{w-z_{0}}\right |<1$
Para la segunda integral se tiene que
\[\small
\frac{1}{w-z}=\frac{1}{w-z_{0}-(z-z_{0})}=-\frac{1}{z-z_{0}}\left(\frac{1}{1-\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}}\right)=-\frac{1}{z-z_{0}}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}\right)^{n}\]
Esta es una serie geométrica válida en la región externa a la
circunferencia de radio R1, de modo que $\left| \frac{w-z_{0}}{z-z_{0}}\right |<1$
Por último, sustituyendo en f(z) y operando se obtiene:
\[\small f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint
_{R_{2}}\left[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}\mathrm{d}w\right](z-z_{0})^{n}+\frac{1}{2\pi
i}\oint
_{R_{1}}\left[\sum_{n=0}^{\infty}f(w)(w-z_{0})^{n}\mathrm{d}w\right]\frac{1}{(z-z_{0})^{n+1}}\]
\[\small f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{2\pi i}\oint
_{R_{2}}\frac{f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}\mathrm{d}w\right](z-z_{0})^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{2\pi
i}\oint
_{R_{1}}f(w)(w-z_{0})^{n}\mathrm{d}w\right]\frac{1}{(z-z_{0})^{n+1}}\]
Haciendo "n=-m-1" para obtener el mismo integrando de la primera integral
en la segunda se tiene
\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{2\pi i}\oint
_{R_{2}}\frac{f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}\mathrm{d}w\right](z-z_{0})^{n}+\sum_{m=-1}^{-\infty}\left[\frac{1}{2\pi
i}\oint
_{R_{1}}\frac{f(w)}{(w-z_{0})^{m+1}}\mathrm{d}w\right](z-z_{0})^{-m}\]
Por
teorema de la deformación, las integrales de Cauchy sobre las circunferencias de radios R1 y R2
serán iguales a la integral de Cauchy sobre la circunferencia C de modo
que
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{2\pi i}\oint
_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}\mathrm{d}z\right](z-z_{0})^{n}\]
Válida en $R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}$
Esta última expresión es la definición formal de la serie de Laurent, donde
los coeficientes son calculados por una integral de Cauchy. Sin embargo,
utilizar esta definición resulta complicado para la representación en serie
de una función compleja. Por ende, es más común determinar la serie
geométrica en el disco interno, (desarrollo de Taylor) y en el disco externo
como se realizó en la deducción de la función f(z).
Ejemplos: Desarrollar las siguientes funciones complejas en
una serie de Laurent en las regiones descritas.
- $f(z)=\frac{2z+1}{z^{2}-z-6}$, en el disco y anillos generados alrededor del origen.
Descomponiendo en fracciones parciales y graficando las regiones se tiene
\[f(z)=\frac{2z+1}{(z+2)(z-3)}=\frac{3/5}{z+2}+\frac{7/5}{z-3}\]
|
| Así como en la serie de Taylor, las singularidades de la función son puntos frontera de cada circunferencia del anillo, el cual forma 3 regiones: un disco D, donde se puede realizar un desarrollo de Taylor, un anillo A, donde se puede realizar un desarrollo de Laurent y el anillo infinito R |
"D" es la intersección de la circunferencia de radio 3 con la de radio 2, formando un disco en el que se realiza el desarrollo de Taylor como ya se conoce
\[f(z)=\frac{3}{10}\left(\frac{1}{1+\frac{z}{2}}\right)-\frac{7}{15}\left(\frac{1}{1-\frac{z}{3}}\right)\]
\[f(z)=\frac{3}{10}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^{n}(-1)^{n}-\frac{7}{15}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{3}\right)^{n}\]
\[f(z)=\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3(-1)^{n}}{2^{n+1}}-\frac{7}{3^{n+1}}\right)z^{n}\]
Válida en:
\[\left|\frac{z}{2}\right|<1\cap\left|\frac{z}{3}\right|<1\rightarrow|z|<2\]
"A" es el anillo interno entre las dos circunferencias, el cual puede interpretarse como la intersección entre el disco externo a "D" y el interno a la circunferencia de radio 3. Así entonces se procede a realizar el desarrollo de Laurent como sigue:
\[f(z)=\frac{3}{5z}\left(\frac{1}{1+\frac{2}{z}}\right)-\frac{7}{15}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{3}\right)^{n}\]
\[f(z)=\frac{3}{5z}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{z}\right)^{n}(-1)^{n}-\frac{7}{15}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{3}\right)^{n}\]
\[f(z)=-\frac{7}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{3^{n+1}}+\frac{3}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{n}}{z^{n+1}}\]
Válida en:
\[\left|\frac{z}{3}\right|<1\cap\left|\frac{2}{z}\right|<1\rightarrow 2<|z|<3\]
Por último, "R" se considera como anillo infinito debido a que se puede describir algebraicamente como $3<|z|<\infty$ de modo que análogo al caso anterior, el desarrollo de Laurent se realiza como sigue:
\[f(z)=\frac{3}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{n}}{z^{n+1}}+\frac{7}{5z}\left(\frac{1}{1-\frac{3}{z}}\right)\]
\[f(z)=\frac{3}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{n}}{z^{n+1}}+\frac{7}{5z}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{z}\right)^{n}\]
\[f(z)=\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{7(3)^{n}+3(-1)^{n}(2)^{n}}{z^{n+1}}\]
Válida en:
\[\left|\frac{2}{z}\right|<1\cap\left|\frac{3}{z}\right|<1\rightarrow 3<|z|\]
Observe que para "D", la serie se compone únicamente de potencias positivas, por lo que en el contexto de la serie de Laurent se puede decir que solo se conforma de la parte analítica. Por otro lado, para "A" la serie se compone de la parte analítica y la parte principal debido que se tienen potencias tanto positivas como negativas. Por último, para "R" la serie se compone únicamente de la parte principal.
- $f(z)=\frac{2z-1}{z^{2}-z-2}$, en el anillo $\sqrt{10}<|z-3i|<\sqrt{13}$
Descomponiendo la fracción y graficando la región se tiene:
\[ f(z)=\frac{2z-1}{(z-2)(z+1)}=\frac{1}{z-2}+\frac{1}{z+1}\]
|
| Gráfica del dominio anular para el ejemplo |
El desarrollo de Laurent corresponde al de Taylor para el disco interno de radio R2 y la serie geométrica para la región externa a la circunferencia de radio R1, de modo que:
\[\small f(z)=\frac{1}{z-3i+3i-2}+\frac{1}{z-3i+3i+1}=\frac{1}{3i-2}\left(\frac{1}{1-\frac{z-3i}{2-3i}}\right)+\frac{1}{z-3i}\left(\frac{1}{1+\frac{1+3i}{z-3i}}\right)\]
\[f(z)=\frac{1}{3i-2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-3i}{2-3i}\right)^{n}+\frac{1}{z-3i}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+3i}{z-3i}\right)^{n}(-1)^{n}\]
\[f(z)=\underset{\text{Parte principal}}{\underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1+3i)^{n}}{(z-3i)^{n+1}}(-1)^{n}}}-\underset{\text{Parte analítica}}{\underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-3i)^{n}}{(2-3i)^{n+1}}}}\]
Válida en:
\[\left|\frac{z-3i}{2-3i}\right|<1\cap\left|\frac{1+3i}{z-3i}\right|<1\]
\[|z-3i|<\sqrt{13}\cap\sqrt{10}<|z-3i|\rightarrow\sqrt{10}<|z-3i|<\sqrt{13}\]
Nótese que el dominio de convergencia coincide con el dominio anular dado en el ejemplo. En caso que estos no coincidieran se puede decir que no existe la serie de Laurent para el dominio dado. Por ejemplo, si se desea hallar la serie de Laurent en el disco $|z+2i|<\sqrt{8}$ notará lo siguiente
|
| Una singularidad en el interior del dominio dado no permite obtener una serie de Laurent para el mismo, pues no tiene forma de un anillo |
Ejemplo práctico: Desarrollar en serie de Laurent a la
función $f(z)=\frac{1}{1+z^{2}}$
en los anillos generados alrededor de $z_{0}=-i$
Descomponiendo en fracciones parciales y graficando los anillos se
tiene
\[f(z)=\frac{1}{(z+i)(z-i)}=\frac{i/2}{z+i}-\frac{i/2}{z-i}\]
|
| A diferencia del supuesto anterior, en este caso la singularidad coincide con el centro del dominio de modo que se forma un anillo |
Para el anillo interno, la fracción $\frac{i/2}{z+i}$
ya es una potencia negativa de $z+i$. En otras palabras es la parte principal de la serie de Laurent, pues el
desarrollo le corresponde a la región externa $|z+i|>0$. Por tanto:
\[f(z)=\frac{i}{2}\left(\frac{1}{z+i}\right)-\frac{i}{2}\left(\frac{1}{z+i-2i}\right)\]
\[f(z)=\underset{\text{Parte
principal}}{\underbrace{\frac{i}{2}\left(\frac{1}{z+i}\right)}}+\underset{\text{Parte
analítica}}{\underbrace{\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z+i}{2i}\right)^{n}}}\]
Válida en
\[0<\left|\frac{z+i}{2i}\right|<1\rightarrow
0<|z+i|<2\]
Este desarrollo es únicamente posible en la serie de Laurent, pues permite
expresar una función compleja como una serie de potencias con al menos una
función de potencia negativa.
Por último, en el anillo infinito se tiene que
\[f(z)=\frac{i}{2}\left(\frac{1}{z+i}\right)-\frac{i}{2(z+i)}\left(\frac{1}{1-\frac{2i}{z+i}}\right)\]
\[\small
f(z)=\frac{i}{2}\left(\frac{1}{z+i}\right)-\frac{i}{2(z+i)}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2i}{z+i}\right)^{n}=\frac{i}{2}\left[\frac{1}{z+i}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2i)^{n}}{(z+i)^{n+1}}\right]\]
\[f(z)=\frac{i}{2}\left[\frac{1}{z+i}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2i)^{n}}{(z+i)^{n+1}}\right]=\frac{i}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2i)^{n}}{(z+i)^{n+1}}\]
Válida en $2<|z+2i|$
Singularidades mediante la serie de Laurent
Una forma práctica para
clasificar singularidades aisladas
es utilizando la serie de Laurent. Pues, note lo siguiente:
Sea una función compleja f(z) y $z=z_{0}$
una singularidad aislada, su desarrollo en serie de Laurent es
\[f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}\]
Analicemos los siguientes casos:
- Si el desarrollo de Laurent solo tiene parte analítica y si se cumple que
\[\displaystyle\lim_{z\to
z_{0}}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}=a_{0}\]
entonces $z_{0}$ es una singularidad removible
- Si el desarrollo de Laurent tiene parte principal que contiene un número finito de términos y si se cumple que
\[\lim_{z\to
z_{0}}\left[\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}\right]=\infty
\]
entonces $z_{0}$ es un polo, donde se puede distinguir dos situaciones: Si
\[f(z)=\frac{a_{-1}}{z-z_{0}}+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}\]
el polo es simple, y si
\[f(z)=\frac{a_{-n}}{(z-z_{0})^{n}}+\frac{a_{-n+1}}{(z-z_{0})^{n-1}}+...+\frac{a_{-1}}{z-z_{0}}+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}\]
el polo es de orden "n" debido a que el término más divergente es $\frac{a_{-n}}{(z-z_{0})^{n}}$.
- Si el desarrollo de Laurent tiene parte principal con infinitos elementos distintos de 0, evidentemente el límite no existe y por tanto se cumple la condición de la singularidad escencial.
Ejemplos: Clasificar las singularidades de las siguientes
funciones:
- $f(z)=\frac{e^{2z}-1}{z}$
Desarrollando la serie de Laurent alrededor de la singularidad "z=0" se tiene
\[ f(z)=\frac{1}{z}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2z)^{n}}{n!}-1\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}z^{n-1}}{n!}-z^{-1}\]
\[ f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}z^{n-1}}{n!}\]
en lugar de evaluar directamente el límite, es suficiente verificar si la serie posee una parte analítica. En este caso particular, no es evidente la existencia de una parte analítica, por lo que se opta por expandir la suma como sigue:
\[f(z)=2+\frac{2^{2}z}{2!}+\frac{2^{3}z^{2}}{3!}+\frac{2^{4}z^{3}}{4!}+...\]
Con esta expresión es evidente que la serie solo tiene parte analítica, por lo que la singularidad de "f" es removible. Ahora, si calcula el límite, o lo que es lo mismo, el único término independiente de "z" de la serie, es posible reescribir la función como:
\[f(z)=\left\{\begin{matrix}\frac{e^{2z}-1}{z},\:z\neq 0\\2,\:z=0\end{matrix}\right.\]
- $f(z)=\frac{z}{z^{2}+1}$
En este caso si "f" se reescribe como una suma de sumas parciales se tienen dos singularidades $f(z)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z+i}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z-i}\right)$, de modo que es necesario desarrollar la serie de Laurent alrededor de cada singularidad:
\[A:\:f(z)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z+i}\right)-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z+i)^{n}}{(2i)^{n+1}}\]
\[B:\:f(z)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z-i}\right)+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-i)^{n}}{(2i)^{n+1}}(-1)^{n}\]
A es el desarrollo de Laurent en el anillo alrededor de la singularidad $z=-i$ y B es el desarrollo de Laurent en el anillo alrededor de la singularidad $z=i$. Evidentemente ambas series solo tienen un elemento en su parte principal, de manera que las singularidades son polos simples. Cabe mencionar que en el anillo infinito, la serie de Laurent conforma únicamente de su parte prinicipal, por lo que no es útil para la clasificación de las singularidades.
- $f(z)=\frac{z-\cos (2z)}{z^{2}}$
Expandiendo la fracción en una resta de fracciones homogéneas se tiene que el desarrollo de Laurent alrededor de la singularidad "z=0" es
\[f(z)=\frac{1}{z}-\frac{\cos(2z)}{z^{2}}=\frac{1}{z}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2z)^{(2n-2)}}{(2n)!}\]
Para reconocer la parte principal y analítica conviene expandir la suma como sigue
\[f(z)=\frac{1}{z}-\frac{1}{4z^{2}}+\frac{z^{0}}{2}-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}z^{(2n-2)}}{(2n)!}\]
La serie contiene solo dos elementos en su parte principal, donde el término más divergente es $\frac{1}{z^{2}}$. Por tanto se puede decir que la singularidad "z=0" es un polo de orden 2
- $f(z)=e^{1/z}(z+2i)$
Desarrollando la serie de Laurent alrededor del origen se tiene
\[f(z)=(z+2i)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!z^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{(1-n)}}{n!}+2i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{-n}}{n!}\]
por simple inspección resulta evidente que la serie tiene infinitos términos en su parte principal, por lo que la singularidad es escencial.
Ejercicios:
a) En cada problema escriba el desarrollo de Laurent en el dominio anular dado
1) $f(z)=\frac{\cos z}{z},\: 0<|z|$
2) $f(z)=e^{-\frac{1}{z^{2}}},\: 0<|z|$
3) $f(z)=\frac{e^{z}}{z-1},\: 0<|z-1|$
4) $f(z)=\frac{1}{z(z-3)},\: 0<|z-3|<3$
5) $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)},\: 0<|z-1|<1$
6) $f(z)=\frac{z}{(z+1)(z-2)},\: 1<|z|<2$
7) $f(z)=\frac{1}{z(1-z)^{2}},\: |z|>1$
8) $f(z)=\frac{1}{(z-2)(z-1)^{3}},\: 0<|z-2|<1$
9) $f(z)=\frac{z+i}{z-i}$,
en el anillo generado alrededor de
$z_{0}=i$
10) $f(z)=\frac{1}{z^{2}-4}$,
en los anillos generados alrededor de
$z_{0}=-2$
7) $f(z)=\frac{1}{z(1-z)^{2}},\: |z|>1$
8) $f(z)=\frac{1}{(z-2)(z-1)^{3}},\: 0<|z-2|<1$
9) $f(z)=\frac{z+i}{z-i}$,
en el anillo generado alrededor de
$z_{0}=i$
10) $f(z)=\frac{1}{z^{2}-4}$,
en los anillos generados alrededor de
$z_{0}=-2$
b) Clasifique las singularidades de las funciones dadas mediante su desarrollo de Laurent
1) $f(z)=\frac{z-i}{z^{2}+1}$
2) $f(z)=\frac{1}{z^{2}}e^{iz}$
3) $f(z)=\sin \left(\frac{3}{z}\right)$
4) $f(z)=\frac{1-\cos(z^{2})}{3z^{4}}$
1) $f(z)=\frac{z-i}{z^{2}+1}$
2) $f(z)=\frac{1}{z^{2}}e^{iz}$
3) $f(z)=\sin \left(\frac{3}{z}\right)$
4) $f(z)=\frac{1-\cos(z^{2})}{3z^{4}}$
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