Introducción a la derivada
Recta tangente a una curva
En la figura se muestra una curva donde se trazaron 5 rectas tangentes en
diferentes puntos. La recta con pendiente m1 presenta una
inclinación negativa muy pronunciada y al mismo
tiempo la curva decrece de una manera brusca. La recta con pendiente m2 es una
línea totalmente horizontal y es donde la curva no crece ni decrece. La
recta con pendiente m3 presenta una ligera inclinación positiva y al mismo
tiempo la curva crece lentamente. Así, se puede notar que las rectas con
pendiente m4, m5 y cualquier otra en otro punto puede brindar información
del crecimiento o decrecimiento de la curva en dicho punto.
Con esta idea se puede decir que para saber como cambia "f" en un número
"x", se debe hallar su recta tangente en ese valor.
En la figura se muestra una recta secante "S" a una curva que interseca en los
puntos $(a,f(a))$ y $(a+h,f(a+h))$. Se puede notar que si el punto $(a+h,f(a+h))$ se aproxima al punto $(a,f(a))$ entonces la pendiente de la recta secante tiende a ser la pendiente de la recta tangente, por
lo que se puede deducir el siguiente limite:
\[\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]
Entonces se dice que este limite es la derivada de f en "a". Es
posible generalizar la expresión para obtener la derivada en cualquier
punto que se desee, reescribiendo el limite como:
\[\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Note que el resultado del limite será una nueva función la cual se denota
por $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}f(x)$ (notación de Leibnitz) o por $f'(x)$
(notación de Newton).
Ejemplo: Hallar la recta tangente en el punto (3,9) para $f(x)=x^{2}$
Aplicando el limite en a=3 se tiene:
\[f'(3)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(3+h)^{2}-3^{2}}{h}\]
\[f'(3)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{9+6h+h^{2}-9}{h}\]
\[f'(3)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(6+h)}{h}\]
\[f'(3)=\lim_{h\rightarrow 0}6+h\]
\[f'(3)=6\]
Luego, para obtener la expresión algebraica de la recta tangente se puede
utilizar traslaciones
partiendo de la función básica:
\[y=6x\]
Esta recta contiene al punto (0,0) y para que esta alcance al deseado se
puede notar que necesita trasladarse 3 unidades a la derecha y 9 unidades
hacia arriba. Entonces:
\[y=6(x-3)+9\]
Graficando la curva de la función con la recta calculada se tiene:
Si se halla el limite para cualquier valor de "x" se obtendrá $f'(x)=2x$, y si graficamos esta función se tiene:
Esta es la curva de la función derivada y observando la curva de la
función original, se puede notar que, donde $f'(x)$ toma valores negativos, $f(x)$ es decreciente, donde $f'(x)$ toma valores positivos, $f(x)$ es creciente y donde $f'(x)$ es cero, $f(x)$ no crece ni decrece. Así entonces se puede interpretar la información
que brinda la derivada de una función.
Ejemplo práctico: Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a $f(x)=x^{3}$ en el punto (2,8).
Aplicando el limite en a=2 se tiene:
\[f'(2)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2+h)^{3}-2^{3}}{h}\]
\[f'(2)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{8+12h+6h^{2}+h^{3}-8}{h}\]
\[f'(2)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(12+6h+h^{2})}{h}\]
\[f'(2)=\lim_{h\rightarrow 0}(12+6h+h^{2})\]
\[f'(3)=12\]
Así como en el problema anterior, la expresión de la recta tangente se obtendrá por traslaciones como sigue:
\[y_{T}=12(x-2)+8\]
\[y_{T}=12x-16\]
No obstante, también se pide la ecuación de la recta normal, la cuál es aquella recta perpendicular a la curva en el punto dado. Consecuentemente, será perpendicular a la recta tangente en ese punto, por lo que cumplen con la condición de perpendicularidad $m_{1}m_{2}=-1$. De esta forma se tiene que la pendiente de la recta normal a la curva será
\[m_{N}=-\frac{1}{m_{T}}\]
donde $m_{T}$ es la pendiente de la recta tangente.
Entonces, la ecuación de la recta normal a la curva "f" en el punto dado será:
\[y_{N}=-\frac{1}{12}(x-2)+8\]
\[y_{N}=-\frac{1}{12}x+\frac{49}{6}\]
Utilizando una graficadora se puede corroborar las respuestas visualmente
Derivabilidad de una función
No todas las funciones se pueden derivar en algún punto. Esto sucede si
una curva es discontinua o si su derivada no existe dicho punto. Entonces,
se puede decir que una función es derivable en un número "a" si esta es continua en
dicho valor y si $f'(a)$ existe.
Ejemplo: Determinar el intervalo donde f(x) es
derivable
\[f(x)=\left\{\begin{matrix} -x+1, &x< 0 \\ x^{2}+1 &x\geq 0
\end{matrix}\right.\]
Es necesario saber si la función es continua en x=0, entonces
estudiando la continuidad
se tiene:
\[\lim_{x\rightarrow 0^{-}}(-x+1)=1\]
\[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(x^{2}+1)=1\]
\[f(0)=(0)^{2}+1=1\]
Entonces se tiene que f es continua en x=0 ya que
\[\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)\]
Luego, para que f sea derivable, la derivada debe existir en x=0 y como
esta es un limite se puede decir que existe si las
derivadas laterales son iguales.
La derivada por la izquierda significa tomar valores muy pequeños de h de
manera que se pueda encontrar una recta tangente por la izquierda del
punto deseado
\[\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{[-(x+h)+1]-(-x+1)}{h}\]
\[\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1\]
Análogamente, la derivada por la derecha significa tomar valores muy
pequeños de h de manera que se pueda encontrar una recta tangente por la
derecha del punto deseado
\[\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{[(x+h)^{2}+1]-(x^{2}+1)}{h}\]
\[\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x\]
Es valido evaluar la derivada en x=0 ya que se probó que f es continua en
dicho punto por lo que se tiene que:
\[f'(0^{+})=0\]
Las derivadas laterales son distintas por lo que la derivada en x=0 no
existe. Entonces, se dice que la función es derivable en $\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$.
Observando la gráfica se puede notar que en x=0, la curva presenta
un punto anguloso. Con este ejemplo se puede intuir que
una función continua puede no ser derivable en un punto. Por otro lado una
función derivable es estrictamente continua en dicho punto. Es posible
demostrar esta afirmación partiendo de la idea de la existencia de la
derivada de una función en un numero "a":
\[f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
Note que se hizo un cambio de variable a la definición original de la
derivada donde $x=a+h$. La idea de la demostración es obtener la definición de continuidad. Es
posible utilizar el siguiente artificio:
\[f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\]
Esta igualdad es valida si x es distinto de a. Luego aplicando los
limites:
\[\lim_{x\rightarrow a}[f(x)-f(a)]=\lim_{x\rightarrow
a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\]
Si f es derivable entonces el limite de la segunda igualdad existe de
manera que se puede aplicar la
ley del producto de limites
obteniendo:
\[\lim_{x\rightarrow a}[f(x)-f(a)]=\lim_{x\rightarrow
a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\lim_{x\rightarrow a}(x-a)\]
\[\lim_{x\rightarrow a}[f(x)-f(a)]=f'(a)\times 0=0\]
Luego, si f(a) es un número se puede aplicar el siguiente
artificio
\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+f(a)-f(a))\]
Suponiendo que el limite existe se puede aplicar la
ley de la suma de limites, obteniendo:
\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow
a}[f(x)-f(a)]+\lim_{x\rightarrow a}f(a)\]
Conocido el valor del limite de $f(x)-f(a)$, se tiene que:
\[\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\]
Por lo tanto así queda demostrado que si una función es derivable en a,
entonces también es continua en dicho número.
Ejemplo práctico: Calcule la derivada de la siguiente
función definida por trozos:
\[f(x)=\left\{\begin{matrix} (x-1)^{3}, &x< 1 \\ \frac{1}{x},
&x\geq 1 \end{matrix}\right.\]
Primero analizaremos la continuidad en x=1
\[\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(x-1)^{3}=0\]
\[\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\left ( \frac{1}{x} \right )=1\]
Como los limites laterales no coinciden, f no es continua en x=1. Por
ende no es necesario estudiar la derivabilidad en dicho punto ya que se
puede asegurar que f no es derivable. Sin embargo en valores de x
distintos a 1, se tienen funciones que se pueden derivar por lo
que:
Hallando la derivada lateral izquierda:
\[\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{(x+h-1)^{3}-(x-1)^{3}}{h}\]
\[\lim_{h\rightarrow
0^{-}}\frac{(x-1)^{3}+3(x-1)^{2}h+3(x-1)h^{2}+h^{3}-(x-1)^{3}}{h}\]
\[\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\frac{h[3(x-1)^{2}+3(x-1)h+h^{2}]}{h}\]
\[\lim_{h\rightarrow 0^{-}}[3(x-1)^{2}+3(x-1)h+h^{2}]=3(x-1)^{2}\]
Hallando la derivada lateral derecha:
\[\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\]
\[\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\]
\[\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{-h}{xh(x+h)}\]
\[\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{-1}{x^{2}+xh}=-\frac{1}{x^{2}}\]
Entonces la derivada de f se denotará de la siguiente forma:
\[f'(x)=\left\{\begin{matrix} 3(x-1)^{2}, & x < 1 \\
-\frac{1}{x^{2}}, & x> 1 \end{matrix}\right.\]
Graficando las funciones $f(x)$ y $f'(x)$
Derivada de funciones vectoriales
Aplicando un análisis similar a la de funciones reales de una variable
real, utilizando vectores se reconocen los siguientes parámetros:
Análogo a funciones reales de una variable real, en análisis
vectorial, la derivada se interpreta como el
vector tangente a una curva. En el gráfico se pueden observar los
vectores posición $r(t)$, $r(t+h)$
y el vector secante formado por la diferencia de los anteriores. Note
que si el vector posición $r(t+h)$ se acerca al vector $r(t)$, la diferencia tiende a formar el vector tangente por lo que se puede
deducir el siguiente limite
\[\lim_{h\rightarrow 0}[r(t+h)-r(t)]\]
Donde:
\[r(t+h)-r(t)=\left \langle x(t+h)-x(t),y(t+h)-y(t),z(t+h)-z(t)) \right
\rangle\]
Por definición de
limite de funciones vectoriales
se tiene que:
\[\lim_{h\rightarrow 0}[r(t+h)-r(t)]=\left \langle \lim_{h\rightarrow
0}[x(t+h)-x(t)],\lim_{h\rightarrow 0}[y(t+h)-y(t)],\lim_{h\rightarrow
0}[z(t+h)-z(t)] \right \rangle\]
Por otro lado si se toman las
curvas paramétricas
se obtiene el mismo análisis de funciones reales de una variable real
donde se tiene que:
\[x'(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}\]
\[y'(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\]
\[z'(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{z(t+h)-z(t)}{h}\]
Entonces para que el valor de 1/h pueda incorporarse al vector secante
se puede realizar la siguiente operación:
\[\frac{1}{h}[r(t+h)-r(t)]\]
El producto por el escalar 1/h solo altera el módulo del vector secante
más no la dirección ni sentido por lo que no afectará al análisis.
Entonces aplicando el limite deducido al principio se tiene que:
\[r'(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}[r(t+h)-r(t)]\]
Al mismo tiempo:
\[r'(t)=\left \langle \lim_{h\rightarrow
0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h},\lim_{h\rightarrow
0}\frac{y(t+h)-y(t)}{h},\lim_{h\rightarrow 0}\frac{z(t+h)-z(t)}{h} \right
\rangle\]
Entonces se puede concluir que:
\[r'(t)=\left \langle x'(t),y'(t),z'(t) \right \rangle\]
Esto se cumple siempre y cuando las funciones componentes sean
derivables en un "t" deseado.
Ejemplo: Hallar la derivada y el vector tangente en t=0
de $r(t)=3t^{2}\mathbf{i}+5t\mathbf{j}+4\mathbf{k}$
Aplicando el limite se tiene:
\[r'(t)=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{3(t+h)^{2}-3t^{2}}{h}\mathbf{i}+\lim_{h\rightarrow
0}\frac{5(t+h)-5t}{h}\mathbf{j}+\lim_{h\rightarrow
0}\frac{4-4}{h}\mathbf{k}\]
\[r'(t)=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{h(6t+3h)}{h}\mathbf{i}+\lim_{h\rightarrow
0}\frac{5h}{h}\mathbf{j}+0\mathbf{k}\]
\[r'(t)=6t\mathbf{i}+5\mathbf{j}\]
Evaluando la derivada en el punto deseado se obtiene el vector posición
del vector tangente a la curva
\[r'(0)=5\mathbf{j}\]
Para ubicar este vector en el punto deseado solo se debe trasladar su
origen en dicho punto.
\[A=r(0)=(0,0,4)\]
\[B=r(0)+r'(0)=(0,0,4)+(0,5,0)=(0,5,4)\]
\[v=\overrightarrow{AB}\]
Graficando la curva de r usando una tabla de valores y ubicando el
vector tangente se tiene:
Asimismo si graficamos la función derivada usando una tabla de valores
se tiene
Interpretando la curva de la derivada, se puede decir que esta compone de
todos los vectores de posición de los vectores tangentes a r cuya
dirección señala hacia donde se dirige su curva.
Ejercicios:
a) Grafique la curva de la función dada con su recta tangente en el punto pedido
1) $f(x)=2(x-3)^{3}+1$ en
$P:(4,3)$
2) $f(x)=\sqrt{x-1}$
en $P:(5,2)$
3) $f(x)=\frac{1}{4x^{2}}$ en
$P:\left ( \frac{1}{2},1 \right )$
4) $f(x)=\left | x^{3}-2x \right
|$ en $P:(1,1)$
b) Grafique la curva de la función dada con su vector tangente en el valor de "t" pedido
1) $r(t)=t^3\mathbf{i}-2t\mathbf{j}$ en $t=1$
2) $r(t)=(4-t^{2})\mathbf{i}+(2t^2+1)\mathbf{j}$ en $t=1$
3) $r(t)=\frac{1}{(t+1)^2}\mathbf{i}+\frac{1}{t+1}\mathbf{j}$ en $t=0$
4) $r(t)=\mathbf{i}+4t\mathbf{j}-t^{2}\mathbf{k}$ en $t=-2$
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