Derivada de funciones básicas y reglas de derivación
Derivada de una función potencia
Si $f(x)=x^{n}$, y n es un número natural, entonces:
\[f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}\]
Desarrollando por teorema del binomio:
\[f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left [
\binom{n}{0}x^{n}+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+...\binom{n}{n}h^{n}
\right ]-x^{n}}{h}\]
Como $\binom{n}{0}x^{n}=x^{n}$, entonces
\[f'(x)=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+...\binom{n}{n}h^{n}}{h}\]
\[f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\left
[\binom{n}{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h+...\binom{n}{n}h^{n-1} \right
]}{h}\]
\[f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\left [
nx^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h+...+\binom{n}{n}h^{n-1} \right
]=nx^{n-1}\]
En conclusión:
Si $f(x)=x^{n}$, y n es un número natural entonces $f'(x)=nx^{n-1}$
A partir de esta deducción se puede decir que:
\[\frac{d}{dx}(x)=1\]
Derivada de una función constante
Si $f(x)=c$ donde c es una constante, entonces $f'(x)=0$
Esta derivada resulta sencilla de demostrar por definición ya que
$f(x+h)=c$
Regla de la suma
Sea la combinación $F(x)=f(x)+g(x)$, entonces
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}{h}\]
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}\]
Si el limite existe se puede aplicar la
ley de la suma de limites:
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\rightarrow
0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\]
En conclusión:
\[\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)\]
Si la combinación fuese la diferencia entre f y g se llegará al mismo
resultado, por lo que esta regla es la misma para tanto la suma como la
diferencia de funciones.
Regla del producto
Sea la combinación $F(x)=f(x)g(x)$, entonces
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\]
Aplicando un artificio algebraico para factorizar los términos
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\]
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{(f(x+h)-f(x))g(x+h)+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h}\]
Si el limite existe se puede aplicar la ley de la suma y la
ley del producto de limites:
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\lim_{h\rightarrow
0}g(x+h)+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\lim_{h\rightarrow
0}f(x)\]
Concluyendo así que:
\[\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\]
Regla del múltiplo constante
Sea la transformación $g(x)=cf(x)$ donde c es una constante,
entonces
\[g'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}\]
\[g'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{c(f(x+h)-f(x))}{h}\]
Aplicando la ley del multiplo constante:
\[g'(x)=c\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Concluyendo así que:
\[\frac{d}{dx}(cf(x))=cf'(x)\]
Conocidas estas derivadas, es posible calcular la de funciones donde
usar la definición resultaría un proceso tedioso. Por ejemplo,
hallar:
\[\frac{d}{dx}[(2x^{2}-3)(x^{2}+x+2)]\]
Por regla del producto:
\[\frac{d}{dx}[(2x^{2}-3)(x^{2}+x+2)]=(2x^{2}-3)'(x^{2}+x+2)+(x^{2}+x+2)'(2x^{2}-3)\]
Por regla de la suma y del múltiplo constante y conocida la
derivada de una función potencia, simplificando a la mínima
expresión se tiene:
\[\frac{d}{dx}[(2x^{2}-3)(x^{2}+x+2)]=(4x)(x^{2}+x+2)+(2x+1)(2x^{2}-3)\]
\[\frac{d}{dx}[(2x^{2}-3)(x^{2}+x+2)]=8x^{3}+6x^{2}+2x-3\]
Regla de la cadena
Sea la
composición
$F(x)=f(g(x))$, se tiene:
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\]
Por artificio algebraico:
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\left
(\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)} \right )\]
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\left
(\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right )\]
Por ley del producto de limites:
\[F'(x)=\lim_{h\rightarrow
0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\lim_{h\rightarrow 0}\left
(\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right )\]
Aplicando el cambio de variable $H=g(x+h)-g(x)$ y si "h" tiende a 0,
mediante dicho cambio de variable, "H" también lo hace, por lo
que:
\[F'(x)=\lim_{H\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+H)-f(g(x))}{H}g'(x)\]
En conclusión:
\[\frac{d}{dx}(f\circ g)(x)=f'(g(x))g'(x)\]
Con esta regla se puede hallar derivadas de funciones que resultan de
la composición de otras. Por ejemplo, hallar:
\[\frac{d}{dx}[(-x^{2}-6x+1)^{4}]\]
Descomponiendo se tienen las funciones $f(x)=x^{4}$ y
$g(x)=-x^{2}-6x+1$. Luego, según la regla:
\[g'(x)=-2x-6\]
\[f'(x)=4x^{3}\]
\[f'(g(x))=4(-x^{2}-6x+1)^{3}\]
Entonces:
\[\frac{d}{dx}[(-x^{2}-6x+1)^{4}]=4(-x^{2}-6x+1)^{3}(-2x-6)\]
Con esta regla de derivación se pueden encontrar muchas otras
como:
Derivada de una fracción de la forma $\frac{1}{f(x)}$
Para usar la regla de la cadena se puede realizar la descomposición
$g(x)=f(x)$ y $f(g(x))=\frac{1}{g(x)}$. Entonces
\[g'(x)=f'(x)\]
\[f'(g(x))=-\frac{1}{[g(x)]^{2}}\]
\[\frac{d}{dx}[(f\circ g)(x)]=-\frac{1}{[g(x)]^{2}}f'(x)\]
En conclusión:
\[\frac{d}{dx}\left ( \frac{1}{f(x)} \right
)=-\frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}}\]
Partiendo de esta derivada se puede obtener la siguiente regla:
Regla del cociente
Sea la combinación $F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, se la puede expresar
como un producto de funciones de manera que la derivada sea:
\[F'(x)=\frac{d}{dx}\left (f(x)\frac{1}{g(x)} \right )\]
Como la regla del producto es válida, se tiene que:
\[F'(x)=f'(x)\frac{1}{g(x)}+\left (\frac{1}{g(x)} \right
)'f(x)\]
Mediante la derivada deducida anteriormente se puede decir que:
\[F'(x)=f'(x)\frac{1}{g(x)}-\left (\frac{g'(x)}{[g(x)]^{2}} \right
)f(x)\]
Operando se concluye que:
\[\frac{d}{dx}\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right
)=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{[g(x)]^{2}}\]
En la derivada de una función potencia se dedujo la expresión
general de la derivada pero cuando "n" es un número natural. Si este
fuera un entero negativo se tiene que:
\[\frac{d}{dx}(x^{-n})=\frac{d}{dx}\left (\frac{1}{x^{n}} \right
)\]
Aplicando la derivada de la fracción de la forma $\frac{1}{f(x)}$ se
tiene:
\[\frac{d}{dx}(x^{-n})=-\frac{nx^{n-1}}{[x^{n}]^{2}}=-nx^{(n-1)-2n}\]
Entonces:
\[\frac{d}{dx}(x^{n})=-nx^{-n-1}\]
Note que si obviamos el signo negativo pero agregando la condición
$n< 0$ se tiene la misma expresión obtenida en la
derivada de una función potencia.
Derivada de una función raíz
Si $f(x)=\sqrt[n]{x}$, se puede decir que $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$
donde n es un número entero y distinto de cero. Luego si
$u=x^{\frac{1}{n}}$ se puede decir que $u^{n}=x$, entonces
\[\frac{d}{dx}\left ( x^{\frac{1}{n}} \right
)=\frac{d}{dx}(u)\]
Asimismo, para el cambio de variable realizado y aplicando
la regla de la cadena se tiene que:
\[\frac{d}{dx}\left ( u^{n} \right )=\frac{d}{dx}(x)\]
\[nu^{n-1}u'=1\]
\[u'=\frac{1}{nu^{n-1}}\]
Volviendo a la variable original
\[\frac{d}{dx}\left ( x^{\frac{1}{n}}\right
)=\frac{1}{nx^{\frac{n-1}{n}}}\]
Ordenando se concluye que:
\[\frac{d}{dx}\left ( x^{\frac{1}{n}} \right
)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\]
Esto aplica de igual forma si el exponente presenta la forma m/n. Así
entonces podemos decir que:
Si $f(x)=x^{n}$, y n es cualquier número real entonces $f'(x)=nx^{n-1}$
Todas estas formas y reglas de derivación son más prácticas ya que se
pueden calcular funciones derivadas de funciones donde aplicar la
definición resultaría un proceso tedioso. Por ejemplo, hallar:
\[\frac{d}{dx}\left ( \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\right )\]
Por regla del cociente:
\[\frac{d}{dx}\left ( \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\right
)=\frac{x'\sqrt{4-x^{2}}-x[\sqrt{4-x^{2}}]'}{[\sqrt{4-x^{2}}]^{2}}\]
Por regla de la cadena y derivada de una función raíz
\[\frac{d}{dx}\left ( \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\right
)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}-x[\frac{1}{2}(4-x^{2})^{-\frac{1}{2}}](-2x)}{[\sqrt{4-x^{2}}]^{2}}\]
Simplificando:
\[\frac{d}{dx}\left ( \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\right
)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}}{4-x^{2}}\]
\[\frac{d}{dx}\left ( \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\right
)=\frac{4}{(4-x^{2})\sqrt{4-x^{2}}}\]
Cabe mencionar que estas reglas se aplican en funciones derivables en
todo su dominio, por lo que se pueden presentar casos en los que se debe
analizar la
derivabilidad
como:
\[f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{3+x}{1-3x}, & x<
\frac{1}{3}\\ (x-3)^{2}, &x\geq \frac{1}{3}
\end{matrix}\right.\]
Si analizamos la continuidad se puede notar que f presenta una
discontinuidad infinita en x=1/3. Por otro lado en el resto de los
valores de x, f es derivable por lo que se puede aplicar las reglas,
obteniendo:
\[f'(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{10}{(1-3x)^{2}}, & x<
\frac{1}{3}\\ 2x-6, &x> \frac{1}{3} \end{matrix}\right.\]
Cabe mencionar que si f es discontinua en x=1/3 entonces no es
derivable en dicho valor por lo que no es necesario analizar la
derivabilidad.
Sea "c" una constante y "u, v" funciones que dependen de "x", a
continuación se resumen las derivadas vistas en esta sección utilizando
la regla de la cadena.
Ejercicios:
a) Calcule y simplifique la derivada de las siguientes funciones
1) $f(x)=\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x}}$
2) $f(x)=\sqrt[4]{(x-2)(2x+3)}$
3) $f(x)=\frac{1}{x\sqrt{x}}+\sqrt{x}$
4) $f(x)=2x\sqrt{1-x^{2}}$
5) $f(x)=\left | 3x^{2}-12 \right |$
6) $f(x)=\left\{\begin{matrix} -1, & x\leq -1\\ 3x+2,
&\left | x \right |< 1 \\ 7-2x, & x\geq 1
\end{matrix}\right.$
7) $f(x)=\frac{\left | x \right |}{x^{2}}$
8) $f(x)=\frac{2x+12}{\left | x+6 \right |}$
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